O enunciado pede para verificar se a matriz é diagonalizável. O conteúdo é diagonalização de matrizes: precisamos achar os autovalores (valores próprios), suas multiplicidades algébrica e geométrica, e checar se existe um conjunto de 3 autovetores linearmente independentes.
Passo 2
Para achar os autovalores de , montamos o polinômio característico . Temos
Calculando o determinante segue-se det(B-lambda I)=-lambda^3-3lambda^2+4=0Longrightarrowlambda^3+3lambda^2-4=0
Passo 3
Testando lambda=1 vemos que é raiz, e ao dividir o polinômio por (lambda-1) obtemos
Portanto os autovalores são lambda1=1 (multiplicidade algébrica 1) e lambda2=-2 (multiplicidade algébrica 2).
Passo 5
Agora calculamos o espaço próprio de lambda=-2, ou seja, resolvemos (B+2I)v=0:
B+2I=4 &4 &3-4 &-4 &-33 &3 &3
Passo 6
As equações equivalem a
4x+4y+3z=0, x+y+z=0
Passo 7
Essas duas são independentes, gerando um espaço de dimensão 3-2=1. Logo a multiplicidade geométrica de lambda=-2 é 1.
Passo 8
Como para lambda=-2 a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (2), não conseguimos 3 autovetores independentes, e assim B não é diagonalizável.
Resposta
A matriz B não é diagonalizável, pois para o autovalor lambda=-2 a multiplicidade geométrica é 1, menor que a multiplicidade algébrica 2, e então não há 3 autovetores independentes.