Verifique se a matriz B é diagonalizável:
[
B=\left[ ccc 2 & 4 & 3 -4 & -6 & -3 3 & 3 & 1 \right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz B é diagonalizável. O conteúdo é diagonalização de matrizes: precisamos achar os autovalores (valores próprios), suas multiplicidades algébrica e geométrica, e checar se existe um conjunto de 3 autovetores linearmente independentes.

Passo 2

Para achar os autovalores de B, montamos o polinômio característico det(B-lambda I)=0. Temos
B-lambda I=2-lambda &4 &3-4 &-6-lambda &-33 &3 &1-lambda
Calculando o determinante segue-se
det(B-lambda I)=-lambda^3-3lambda^2+4=0Longrightarrowlambda^3+3lambda^2-4=0

Passo 3

Testando lambda=1 vemos que é raiz, e ao dividir o polinômio por (lambda-1) obtemos
lambda^3+3lambda^2-4=(lambda-1)(lambda^2+4lambda+4)=(lambda-1)(lambda+2)^2

Passo 4

Portanto os autovalores são lambda1=1 (multiplicidade algébrica 1) e lambda2=-2 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 5

Agora calculamos o espaço próprio de lambda=-2, ou seja, resolvemos (B+2I)v=0:
B+2I=4 &4 &3-4 &-4 &-33 &3 &3

Passo 6

As equações equivalem a
4x+4y+3z=0, x+y+z=0

Passo 7

Essas duas são independentes, gerando um espaço de dimensão 3-2=1. Logo a multiplicidade geométrica de lambda=-2 é 1.

Passo 8

Como para lambda=-2 a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (2), não conseguimos 3 autovetores independentes, e assim B não é diagonalizável.

Resposta

A matriz B não é diagonalizável, pois para o autovalor lambda=-2 a multiplicidade geométrica é 1, menor que a multiplicidade algébrica 2, e então não há 3 autovetores independentes.

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