Dada a matriz ll4 & -3 2 & -1
Calcule A^8 usando autovalores e autovetores.

Passo 1

Temos a matriz:
A=4 & -3 2 & -1
O conteúdo é diagonalização de matrizes, ou seja, encontrar autovalores e autovetores para escrever A=PDP^-1 e depois elevar à oitava potência.

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)=(4-lambda)(-1-lambda)-(-3cdot2)=lambda^2-3lambda+2=0
Assim obtemos os autovalores lambda1=2 e lambda2=1.

Passo 3

Para cada autovalor, resolver (A-lambda I)v=0 para achar os autovetores. Para lambda1=2:
(A-2I)=2 & -32 & -3
levando a 2x-3y=0 e vetores múltiplos de (3,2). Para lambda2=1:
(A-I)=3 & -32 & -2
levando a x=y e vetores múltiplos de (1,1).

Passo 4

Montar a matriz de autovetores P=[v1 v2]=
P=3 & 12 & 1,
e a diagonal . Em seguida, calcular
D=diag(2,1)

Passo 5

Usar A^8=P D^8 P^-1. Como , temos
D^8=diag(2^8,1)
e portanto
PD^8=3 & 12 & 1256 & 00 & 1=768 & 1512 & 1

Resposta

A^8=766 & -765510 & -509

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