Seja T um operador linear no K-e.v. V de dimensão finita. Suponha que mT=(x- D in L(V), mostre que existe um operador diagonalizável N in L(V) e um operador nilpotente T=D+N tal que
a D N=N D,
b D.
Prove ainda que os operadores N e T são univocamente determinados por a e b e cada um deles é um polinômio em .

Passo 1

Vamos relembrar o enunciado: temos um operador linear T em um espaço vetorial V de dimensão finita sobre K, cujo polinômio minimal se fatoriza como mT=(x-lambda1)^m1cdots(x-lambdak)^mk. A tarefa é decompor T na soma de um operador diagonalizável D e um operador nilpotente N que comutam, além de mostrar que D e N são únicos e polinômios em T. Para isso vamos usar o Teorema da Decomposição Primária e projeções polinomiais.

Passo 2

Segundo o Teorema da Decomposição Primária, escrevemos V como soma direta de subespaços T-invariantes
V=oplusi=1^k Vi,
onde Vi=kerl((T-lambdaiI)^mir). Em cada bloco Vi, o operador Ti:=T|Vi tem polinômio minimal (x-lambdai)^mi.

Passo 3

Em cada subespaço Vi definimos
Di=lambdaiIVi,
Ni=Ti-lambdaiIVi
É imediato que Ti=Di+Ni, que Di é diagonalizável (é múltiplo da identidade) e que Ni é nilpotente de ordem mi. Além disso, em cada Vi temos DiNi=NiDi pois Di é escalar.

Passo 4

Agora definimos em V
D=oplusi=1^k Di,
N=oplusi=1^k Ni
Com isso temos T=D+N, DN=ND, D é diagonalizável (soma direta de escalars) e N é nilpotente (soma direta de operadores nilpotentes).

Passo 5

Para mostrar que D e N são polinômios em T, construímos as projeções polinomiais
$$
P_i(x)=
\prod_{j\neq i}
\frac{(x-\lambda_j){m_j}}{(\lambda_i-\lambda_j){m_j}},
$$
que satisfazem Pi(x)= prodjneq i (x-lambdaj)^mj(lambdai-lambdaj)^mj, é a projeção sobre Pi(T). Essas Vi formam um sistema de idempotentes que se somam à identidade.

Passo 6

Usando as Pi definimos
D=sumi=1^klambdai,Pi(T),
N=T-D
Fica claro que D e N são polinômios em T e satisfazem todas as propriedades desejadas.

Passo 7

Para a unicidade, suponha que exista outra decomposição T=D'+N' com D' diagonalizável, N' nilpotente e D'N'=N'D'. Como D' comuta com T, ele se diagonaliza no mesmo espaço primário e se expressa pelo mesmo polinômio de Lagrange, logo D'=D e N'=T-D'=N.

Resposta

Os operadores são
d Pi(x)=prodjneq i(x-lambdaj)^mj(lambdai-lambdaj)^mj,
D=sumi=1^klambdai,Pi(T),
N=T-D
Eles satisfazem T=D+N e DN=ND, D é diagonalizável, N é nilpotente, são únicos e polinômios em T.

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