Seja
um operador linear no
-e.v.
de dimensão finita. Suponha que
, mostre que existe um operador diagonalizável
e um operador nilpotente
tal que
a
,
b
.
Prove ainda que os operadores
e
são univocamente determinados por a e b e cada um deles é um polinômio em
.
a
b
Prove ainda que os operadores
Passo 1
Vamos relembrar o enunciado: temos um operador linear T em um espaço vetorial V de dimensão finita sobre K, cujo polinômio minimal se fatoriza como
. A tarefa é decompor T na soma de um operador diagonalizável D e um operador nilpotente N que comutam, além de mostrar que D e N são únicos e polinômios em T. Para isso vamos usar o Teorema da Decomposição Primária e projeções polinomiais.
Passo 2
Segundo o Teorema da Decomposição Primária, escrevemos V como soma direta de subespaços T-invariantes
onde
Passo 3
Em cada subespaço
definimos
É imediato que
Passo 4
Agora definimos em V
Com isso temos
Passo 5
Para mostrar que D e N são polinômios em T, construímos as projeções polinomiais
$$
P_i(x)=
P_i(x)=
\prod_{j\neq i}
\frac{(x-\lambda_j){m_j}}{(\lambda_i-\lambda_j){m_j}},
\frac{(x-\lambda_j){m_j}}{(\lambda_i-\lambda_j){m_j}},
$$
que satisfazem é a projeção sobre
. Essas
formam um sistema de idempotentes que se somam à identidade.
que satisfazem
Passo 6
Usando as
definimos
Fica claro que
Passo 7
Para a unicidade, suponha que exista outra decomposição
com
diagonalizável,
nilpotente e
. Como
comuta com T, ele se diagonaliza no mesmo espaço primário e se expressa pelo mesmo polinômio de Lagrange, logo
e
.
Resposta
Os operadores são
d
Eles satisfazem T=D+N e DN=ND, D é diagonalizável, N é nilpotente, são únicos e polinômios em T.