Considere a transformacao linear T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x+y, x-z, y+z).
a. Encontre uma base para o nucleo de T e calcular dim(Ker(T)).
b. Encontre uma base para a imagem de T e calcular dim(Im(T)).
c. Té injetora? Justifique sua resposta.
d. T é sobrejetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

Neste exercício temos a transformação linear T: R^3toR^3 dada por T(x,y,z)=(x+y,,x-z,,y+z). Vamos precisar usar a definição de núcleo como o conjunto de soluções de T(x,y,z)=0, a definição de imagem como o subespaço gerado pelas colunas da matriz de T, e os teoremas de dimensão para decidir injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Para encontrar o núcleo de T, resolvemos T(x,y,z)=(0,0,0). Isso dá o sistema
x+y=0, x-z=0, y+z=0
Da segunda equação temos x=z. Substituindo em y+z=0 y=-z=-x. Logo a solução geral é (x,y,z)=(t, -t, t).
Isso mostra que
dim(ker(T))=1
e portanto .

Passo 3

Para achar a imagem de T, montamos a matriz de T nas bases canônicas:
A= 1 & 1 & 0 1 & 0 & -1 0 & 1 & 1
As colunas de A são (1,1,0), (1,0,1), (0,-1,1). Escalonando A vemos que as duas primeiras colunas são independentes e a terceira é combinação delas, logo
dim(Im(T))=2
e .

Passo 4

Para verificar injetividade, usamos o fato de que T é injetora se e somente se ker(T)=0. Aqui dim(ker(T))=1>0, então T não é injetora.

Passo 5

Para verificar sobrejetividade, comparamos dim(Im(T))=2 com o espaço-alvo de dimensão 3. Como 2<3, T não é sobrejetora.

Resposta

a) Base do núcleo: (1,-1,1), dim(ker(T))=1.
b) Base da imagem: (1,1,0),,(1,0,1), dim(Im(T))=2.
c) T não é injetora, pois dim(ker(T))>0.
d) T não é sobrejetora, pois dim(Im(T))<3.

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