Questão 4
Determinar a transformação linear
tal que
e
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar uma transformação linear
sabendo as imagens de três vetores. O conteúdo aqui é representação matricial de transformações lineares: existe uma matriz
tal que
, e precisamos achar as entradas dessa matriz.
Passo 2
Denotamos
As três condições dão os sistemas:
Passo 3
Da última condição já obtemos diretamente
Passo 4
Substituindo
e
na primeira condição, temos
Passo 5
Substituindo
e
na segunda condição, obtemos
Subtraindo os dois primeiros:
e então
. Analogamente, $ (d+2f)-(d+f)=-2+1\implies f=-1$ e então
.
Passo 6
Com isso a matriz de
é
e, para um vetor genérico
,
Resposta
A transformação é dada por