Questão 4

Determinar a transformação linear T: R^3 R^2 tal que T(1,1,1)=(1,1), T(1,1,2)=(1,0) e T(0,1,0)=(-1,2).

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma transformação linear T: R^3toR^2 sabendo as imagens de três vetores. O conteúdo aqui é representação matricial de transformações lineares: existe uma matriz Ain M2times3 tal que T( x)=A x, e precisamos achar as entradas dessa matriz.

Passo 2

Denotamos
A=a&b&cd&e&f
As três condições dão os sistemas:
A(1,1,1)^T=(1,1)impliesa+b+c=1d+e+f=1;
A(1,1,2)^T=(1,0)impliesa+b+2c=1d+e+2f=0;
A(0,1,0)^T=(-1,2)impliesb=-1e=2

Passo 3

Da última condição já obtemos diretamente
b=-1, e=2

Passo 4

Substituindo b=-1 e e=2 na primeira condição, temos
a-1+c=1implies a+c=2, d+2+f=1implies d+f=-1

Passo 5

Substituindo b=-1 e e=2 na segunda condição, obtemos
a-1+2c=1implies a+2c=2, d+2+2f=0implies d+2f=-2
Subtraindo os dois primeiros: (a+2c)-(a+c)=2-2implies c=0 e então a=2. Analogamente, $ (d+2f)-(d+f)=-2+1\implies f=-1$ e então (d+2f)-(d+f)=-2+1implies f=-1.

Passo 6

Com isso a matriz de T é
A=2&-1&00&2&-1
e, para um vetor genérico (x,y,z),
T(x,y,z)=(2x-y,,2y-z)

Resposta

A transformação é dada por
T(x,y,z)=(2x - y,;2y - z)

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