Seja (K, +, cdot ) um corpo. Mostre que:
Dado x in K com x neq 0, se x1 e x2 são elementos de K satisfazendo:
x cdot x1=1 e x cdot x2=1,
então x1=x2. Em outras palavras, num corpo cada elemento não nulo x possui um único inverso multiplicativo, denotado por x^-1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que num corpo (que, em particular, é um grupo multiplicativo em K{0}), todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo único. Vamos usar associatividade, elemento neutro e as igualdades dadas.

Passo 2

Começo escrevendo x₁ multiplicado pelo neutro multiplicativo 1 e uso uma das igualdades fornecidas:
x₁ = x₁ \cdot 1
Mas como x \cdot x₂ = 1, posso substituir 1 por x \cdot x₂, obtendo:
x₁ = x₁ \cdot (x \cdot x₂)

Passo 3

Agora aplico a associatividade da multiplicação em K para reagrupar:
x₁ \cdot (x \cdot x₂) = (x₁ \cdot x) \cdot x₂

Passo 4

Como também foi dado que x₁ \cdot x = 1, temos:
(x₁ \cdot x) \cdot x₂ = 1 \cdot x₂ = x₂
Logo x₁ = x₂, mostrando a unicidade do inverso multiplicativo.

Resposta

x₁ = x₂

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