Seja (K, +,
) um corpo. Mostre que:
Dado
, se
e
são elementos de
satisfazendo:
então
. Em outras palavras, num corpo cada elemento não nulo
possui um único inverso multiplicativo, denotado por
.
Dado
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que num corpo (que, em particular, é um grupo multiplicativo em K{0}), todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo único. Vamos usar associatividade, elemento neutro e as igualdades dadas.
Passo 2
Começo escrevendo x₁ multiplicado pelo neutro multiplicativo 1 e uso uma das igualdades fornecidas:
x₁ = x₁ \cdot 1
Mas como x \cdot x₂ = 1, posso substituir 1 por x \cdot x₂, obtendo:
x₁ = x₁ \cdot (x \cdot x₂)
Passo 3
Agora aplico a associatividade da multiplicação em K para reagrupar:
x₁ \cdot (x \cdot x₂) = (x₁ \cdot x) \cdot x₂
Passo 4
Como também foi dado que x₁ \cdot x = 1, temos:
(x₁ \cdot x) \cdot x₂ = 1 \cdot x₂ = x₂
Logo x₁ = x₂, mostrando a unicidade do inverso multiplicativo.
Resposta
x₁ = x₂