Questão 3
Seja
o espaço dos polinomios de grau menor ou igual a 2 com o seguinte produto interno :
. Sejam
e
.
a. Calcular
e o angulo entre
e
.
b. Os vetores
e
são linearmente independentes?
a. Calcular
b. Os vetores
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar no espaço
com produto interno $<P,Q>=P(0)Q(0)+P(1)Q(1)+P(2)Q(2)$. Precisamos calcular $<u,v>$, as normas $|u|$ e $|v|$, o ângulo entre $u=x-1$ e $v=(x-1)^2$ e, por fim, verificar se $u$ e $v$ são linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro encontramos as avaliações de $u$ e $v$ nos pontos 0, 1 e 2:
Passo 3
Usando essas avaliações calculamos o produto interno:
Passo 4
Agora calculamos as normas a partir de $|u|=\sqrt{\langle u,u\rangle}$ e $|v|=\sqrt{\langle v,v\rangle}$:
Passo 5
Portanto:
Passo 6
O cosseno do ângulo $\theta$ satisfaz
Passo 7
Logo $\theta = 90^\circ$ (ou $\pi/2$ rad).
Como $<u,v>=0$ e ambas as normas são não nulas, $u$ e $v$ são ortogonais e, portanto, linearmente independentes.
Como $<u,v>=0$ e ambas as normas são não nulas, $u$ e $v$ são ortogonais e, portanto, linearmente independentes.
Resposta
$<u,v> = 0, |u| = \sqrt{2}, |v| = \sqrt{2}, \theta = 90^\circ$. Os vetores são linearmente independentes.