Questão 3

Seja R2[X] o espaço dos polinomios de grau menor ou igual a 2 com o seguinte produto interno : =P(0) Q(0)+P(1) Q(1)+P(2) Q(2). Sejam u=x-1 e v=(x-1)^2.
a. Calcular lang<= u, vrang<=,|u|,|v| e o angulo entre u e v.
b. Os vetores u e v são linearmente independentes?

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar no espaço =P(0)Q(0)+P(1)Q(1)+P(2)Q(2) com produto interno $<P,Q>=P(0)Q(0)+P(1)Q(1)+P(2)Q(2)$. Precisamos calcular $<u,v>$, as normas $|u|$ e $|v|$, o ângulo entre $u=x-1$ e $v=(x-1)^2$ e, por fim, verificar se $u$ e $v$ são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro encontramos as avaliações de $u$ e $v$ nos pontos 0, 1 e 2:
u

Passo 3

Usando essas avaliações calculamos o produto interno:
lang<= u,vrang<= = (-1)cdot1 + 0cdot0 + 1cdot1 = -1 + 0 + 1 = 0

Passo 4

Agora calculamos as normas a partir de $|u|=\sqrt{\langle u,u\rangle}$ e $|v|=\sqrt{\langle v,v\rangle}$:
|u|=raizlang<= u,urang<=

Passo 5

Portanto:
|u| = raiz2, |v| = raiz2

Passo 6

O cosseno do ângulo $\theta$ satisfaz
theta

Passo 7

Logo $\theta = 90^\circ$ (ou $\pi/2$ rad).
Como $<u,v>=0$ e ambas as normas são não nulas, $u$ e $v$ são ortogonais e, portanto, linearmente independentes.

Resposta

$<u,v> = 0, |u| = \sqrt{2}, |v| = \sqrt{2}, \theta = 90^\circ$. Os vetores são linearmente independentes.

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