Questão 1

Sejam E e F dois espaços vetoriais. Seja T: E F uma transformação linear.
Provar que Ker f é um subespaço vetorial de E.

Passo 1

A questão dá dois espaços vetoriais E e F e uma transformação linear T: E → F, e pede pra mostrar que ker T = {v ∈ E | T(v) = 0_F} é subespaço de E. Vamos usar a definição de subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostrar que 0_E ∈ ker T. Como T é linear, temos T(0_E) = 0_F. Logo 0_E satisfaz T(0_E)=0_F e pertence a ker T, mostrando que o conjunto não é vazio.

Passo 3

Fechamento sob soma: tome u, v ∈ ker T. Isto é, T(u)=0_F e T(v)=0_F. Pela linearidade,
T(u+v) = T(u) + T(v) = 0_F + 0_F = 0_F.
Logo u+v ∈ ker T.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar: seja α um escalar de E e v ∈ ker T, então T(v)=0_F. Pela linearidade,
T(αv) = α·T(v) = α·0_F = 0_F.
Logo αv ∈ ker T, mostrando fechamento.

Resposta

ker T é um subespaço vetorial de E.

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