Questão 1
Sejam
e
dois espaços vetoriais. Seja
uma transformação linear.
Provar que
é um subespaço vetorial de
.
Provar que
Passo 1
A questão dá dois espaços vetoriais E e F e uma transformação linear T: E → F, e pede pra mostrar que ker T = {v ∈ E | T(v) = 0_F} é subespaço de E. Vamos usar a definição de subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostrar que 0_E ∈ ker T. Como T é linear, temos T(0_E) = 0_F. Logo 0_E satisfaz T(0_E)=0_F e pertence a ker T, mostrando que o conjunto não é vazio.
Passo 3
Fechamento sob soma: tome u, v ∈ ker T. Isto é, T(u)=0_F e T(v)=0_F. Pela linearidade,
T(u+v) = T(u) + T(v) = 0_F + 0_F = 0_F.
Logo u+v ∈ ker T.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar: seja α um escalar de E e v ∈ ker T, então T(v)=0_F. Pela linearidade,
T(αv) = α·T(v) = α·0_F = 0_F.
Logo αv ∈ ker T, mostrando fechamento.