Prove que toda matriz simétrica é diagonalizável ortogonalmente, e aplique isso para diagonalizar a matriz:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, provar que toda matriz real simétrica é diagonalizável por meio de uma matriz ortogonal (teorema espectral); segundo, aplicar esse resultado para diagonalizar a matriz
A = 3 & 1 & 0 1 & 2 & 1 0 & 1 & 3
Para isso precisamos conhecer que, em matrizes simétricas, (i) todos os autovalores são reais e (ii) autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais. A partir daí construímos uma base ortonormal de autovetores e obtemos a diagonalização ortogonal.
Passo 2
Prova do teorema espectral para matrizes reais simétricas. Seja Ain R^ntimes n com A^T=A.
A função quadrática q(x)=x^T A x atinge um valor máximo (e mínimo) em algum vetor unitário u no conjunto xin R^n:lVert xrVert=1. Pelo método de Lagrange ou pelo fato de o domínio ser compacto, existe lambdain R tal que
A u = lambda,u
Logo lambda é real e u é autovetor.
2. Considere o subespaço ortogonal u^perp. Ele é A-invariante porque, se vperp u, então
u^T (A v) = (A^T u)^T v = (A u)^T v = lambda,u^T v = 0
Assim, restringindo A a u^perp e repetindo o argumento, obtemos uma base ortonormal inteira de autovetores u1,dots,un. Colocando esses vetores como colunas de P, temos P^T A P=D diagonal, e P ortogonal.
Passo 3
Cálculo dos autovalores de A. O polinômio característico é