Prove que toda matriz simétrica é diagonalizável ortogonalmente, e aplique isso para diagonalizar a matriz:
A=[lll 3 & 1 & 0 1 & 2 & 1 0 & 1 & 3 ]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, provar que toda matriz real simétrica é diagonalizável por meio de uma matriz ortogonal (teorema espectral); segundo, aplicar esse resultado para diagonalizar a matriz
A = 3 & 1 & 0 1 & 2 & 1 0 & 1 & 3
Para isso precisamos conhecer que, em matrizes simétricas, (i) todos os autovalores são reais e (ii) autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais. A partir daí construímos uma base ortonormal de autovetores e obtemos a diagonalização ortogonal.

Passo 2

Prova do teorema espectral para matrizes reais simétricas. Seja Ain R^ntimes n com A^T=A.
  1. A função quadrática q(x)=x^T A x atinge um valor máximo (e mínimo) em algum vetor unitário u no conjunto xin R^n:lVert xrVert=1. Pelo método de Lagrange ou pelo fato de o domínio ser compacto, existe lambdain R tal que
A u = lambda,u
Logo lambda é real e u é autovetor.
2. Considere o subespaço ortogonal u^perp. Ele é A-invariante porque, se vperp u, então
u^T (A v) = (A^T u)^T v = (A u)^T v = lambda,u^T v = 0
Assim, restringindo A a u^perp e repetindo o argumento, obtemos uma base ortonormal inteira de autovetores u1,dots,un. Colocando esses vetores como colunas de P, temos P^T A P=D diagonal, e P ortogonal.

Passo 3

Cálculo dos autovalores de A. O polinômio característico é
det(A - lambda I) = 3-lambda & 1 & 0 1 & 2-lambda & 1 0 & 1 & 3-lambda =(3-lambda)l((2-lambda)(3-lambda)-1r)-1cdot(3-lambda)
Expansão interna:
(2-lambda)(3-lambda)-1 =6 -5lambda +lambda^2 -1 =lambda^2-5lambda+5,
então
det(A-lambda I) =(3-lambda)(lambda^2-5lambda+5)- (3-lambda) =(3-lambda)(lambda^2-5lambda+4) =(3-lambda)(lambda-1)(lambda-4)
Logo os autovalores são
lambda1=1, lambda2=3, lambda3=4

Passo 4

Cálculo dos autovetores e ortonormalização.
Para , resolvemos :
Um gerador é . Normalizando,
Para , resolvemos :
Escolhendo e normalizando,
Para , resolvemos :
Tomando e normalizando,
Os vetores são mutuamente ortogonais e unitários.

Passo 5

Formamos a matriz ortogonal P cujas colunas são u1,u2,u3 e a diagonal D com os autovalores na mesma ordem:
P = l[u1;u2;u3r] = 1raiz6 & 1raiz2 & 1raiz3 -2raiz6 & 0 & 1raiz3 1raiz6 & -1raiz2 & 1raiz3 , D = 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 4
Então a diagonalização ortogonal é
P^T A P = D,
ou equivalentemente
A = P,D,P^T

Resposta

A matriz
A= 3 & 1 & 0 1 & 2 & 1 0 & 1 & 3
é diagonalizada ortogonalmente por
P = 1raiz6 & 1raiz2 & 1raiz3 -2raiz6 & 0 & 1raiz3 1raiz6 & -1raiz2 & 1raiz3 , D = 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 4 ,
de modo que P^TAP=D.

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