Considere a transformação linear
dada por
(b) Dê a dimensão da imagem de
.
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
, dada por
Pede-se a dimensão da imagem de
, isto é, o posto de
. Vamos usar a imagem dos vetores da base canônica para encontrar esse posto.
Passo 2
Calculemos
nos vetores da base canônica
,
,
:
Passo 3
Observamos que
logo esses dois geram a mesma direção em
. Por outro lado,
não é múltiplo de
, pois possui componente não nula na primeira e na terceira coordenadas onde
é nulo. Assim, na imagem de
há exatamente dois vetores linearmente independentes.
Passo 4
Portanto, o subespaço imagem de
é gerado por dois vetores independentes, e seu posto (dimensão) é
Resposta
A dimensão da imagem de
é
.