Considere a transformação linear T: R^3 longrightarrow R^3 dada por
T(x, y, z)=(z, x-y, z)
(b) Dê a dimensão da imagem de T.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear Tcolon R^3 to R^3, dada por
T(x,y,z) = (z,;x-y,;z)
Pede-se a dimensão da imagem de T, isto é, o posto de T. Vamos usar a imagem dos vetores da base canônica para encontrar esse posto.

Passo 2

Calculemos T nos vetores da base canônica
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1):
T(e1) = (0,;1,;0),
T(e2) = (0,;-1,;0),
T(e3) = (1,;0,;1)

Passo 3

Observamos que
T(e2) = -,T(e1),
logo esses dois geram a mesma direção em R^3. Por outro lado, T(e3) não é múltiplo de T(e1), pois possui componente não nula na primeira e na terceira coordenadas onde T(e1) é nulo. Assim, na imagem de T há exatamente dois vetores linearmente independentes.

Passo 4

Portanto, o subespaço imagem de T é gerado por dois vetores independentes, e seu posto (dimensão) é
dim(Im,T)=2

Resposta

A dimensão da imagem de T é 2.

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