Sejam B=(1,-1),(0,2) e C=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0) bases R^2 e R^3 respectivamente e
[T]B, C=[rr 1 & 0 1 & 1 0 & -1 ]
(a) Determine T.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
T:R^2toR^3 cuja matriz em relação às bases
B=b1=(1,-1),,b2=(0,2) de R^2 e
C=c1=(1,0,-1),,c2=(0,1,2),,c3=(1,2,0) de R^3 é
[T]B,C = 1 & 01 & 10 & -1
Para determinar T no jeito “padrão” (isto é, dar T(x,y) em coordenadas canônicas), vamos:
1. Expressar um vetor genérico v=(x,y) em coordenadas de B.
2. Calcular [T(v)]C = [T]B,C,[v]B.
3. Reconverter esse vetor de coordenadas de C para a forma canônica.

Passo 2

Escrevemos como combinação de e :
Comparando coordenadas, e

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]

Passo 3

Agora calculamos
[T(v)]C = 1&01&10&-1 x[3pt]tfracx+y2 = x[4pt] x + tfracx+y2[4pt] -tfracx+y2 = x[4pt] tfrac2x + x + y2[4pt] -tfracx+y2 = x[4pt] tfrac3x + y2[4pt] -tfracx+y2
Chamemos esses componentes de alpha, beta, gamma.]

Passo 4

Em coordenadas canônicas,
T(v) = alpha,c1+beta,c2+gamma,c3 = alpha,(1,0,-1)+beta,(0,1,2)+gamma,(1,2,0)
Substituindo
alpha = x, beta = tfrac3x+y2, gamma = -tfracx+y2,
T(x,y) = x,(1,0,-1) + tfrac3x+y2,(0,1,2) - tfracx+y2,(1,2,0)

Passo 5

Somando componente a componente:
1ª componente:
x + 0 - tfracx+y2 = tfrac2x - x - y2 = tfracx - y2
2ª componente:
0 + tfrac3x+y2 - tfrac2(x+y)2 = tfrac3x+y -2x -2y2 = tfracx - y2
3ª componente:
-,x + 2cdottfrac3x+y2 + 0 = -x + (3x+y) = 2x + y
Portanto, em coordenadas canônicas,
T(x,y) = l(,tfracx-y2,;tfracx-y2,;2x+yr)

Resposta

T(x,y)=l(tfracx-y2,,tfracx-y2,,2x+yr)

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