Determine as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência de equação:
x^2+2 x+y^2-4 raiz3 y=-9

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas do centro e o raio de uma circunferência cuja equação geral é
x^2+2x+y^2-4raiz3y=-9.
O assunto é geometria analítica no plano, e vamos usar o método de completar o quadrado para reescrever essa equação na forma padrão
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
onde (a,b) é o centro e r o raio.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e em y e completamos o quadrado em cada grupo:
x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1
y^2 - 4raiz3y = (y - 2raiz3)^2 - (2raiz3)^2 = (y - 2raiz3)^2 - 12

Passo 3

Substituímos essas expressões na equação original:
(x+1)^2 - 1 ;+; (y-2raiz3)^2 - 12 ;=;-9

Passo 4

Somamos os termos constantes -1 - 12 no lado esquerdo e isolamos os quadrados:
(x+1)^2 + (y-2raiz3)^2 - 13 = -9
(x+1)^2 + (y-2raiz3)^2 = -9 + 13 = 4

Passo 5

Agora a equação está na forma padrão (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2. Comparando, temos
a = -1, b = 2raiz3, r^2 = 4
Logo o centro é (-1,,2raiz3) e o raio é r = raiz4 = 2.

Resposta

O centro é (-1,,2raiz3) e o raio é 2.

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