Encontre uma transformação linear T: R^2 longrightarrow R^3 tal que T(1,0)=(1,2,3) e T(0,1)=(1,-2,-1).

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
T:R^2toR^3
tendo como dados
T(1,0) = (1,2,3), T(0,1) = (1,-2,-1)
O conteúdo envolvido é a representação matricial de uma transformação linear no espaço com base canônica, e vamos usar a propriedade de linearidade para achar T(x,y).

Passo 2

Por linearidade de T, para um vetor genérico (x,y)inR^2 vale
T(x,y) = x,T(1,0) + y,T(0,1)

Passo 3

Substituindo os vetores dados, obtemos
T(x,y) = x,(1,2,3) + y,(1,-2,-1) = (,x + y,;2x - 2y,;3x - y,)

Passo 4

A matriz de T na base canônica de R^2 para a canônica de R^3 é a matriz 3times2 cujas colunas são T(1,0) e T(0,1), isto é,
[T] = 1 & 1 [6pt] 2 & -2 [6pt] 3 & -1 ]

Resposta

A transformação linear que atende às condições é
T(x,y) = (x + y,;2x - 2y,;3x - y),
cuja matriz na base canônica é
1 & 1 [3pt] 2 & -2 [3pt] 3 & -1 ]

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