Considere a transformação linear T: R^{2} \rightarrow R^{2} definida por T(x, y)=(2 x-y, x+3 y).
a) Verifique se T é linear.
b) Determine a matriz associada a T na base canônica.
c) Determine a imagem de T.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por
T(x,y) = (2x-y,\; x+3y).
O que é pedido:
  • (a) Verificar se T é linear.
  • (b) Determinar a matriz associada a T na base canônica de \mathbb{R}^{2}.
  • (c) Determinar a imagem de T.
Informações dadas (úteis para resolver):
  • A regra que associa a cada vetor (x,y) o vetor (2x-y,\;x+3y).
  • Domínio e contradomínio são \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Definição útil e ideia de prova (explicação didática): uma transformação T é linear se satisfaz duas propriedades para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}:
  1. Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v).
  2. Homogeneidade (ou multiplicação por escalar): T(cu)=c\,T(u).
Vou verificar essas duas propriedades diretamente usando a fórmula de T. Seja u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2).

Passo 3

Verificação da aditividade (passo a passo):
  • Primeiro calcule u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
  • Aplique T em u+v:
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=(2(x_1+x_2)-(y_1+y_2),\; (x_1+x_2)+3(y_1+y_2)).
  • Desenvolvendo os parênteses:
T(u+v)=(2x_1+2x_2-y_1-y_2,\; x_1+x_2+3y_1+3y_2).
  • Agora calcule T(u)+T(v). Primeiro
T(u)=(2x_1-y_1,\; x_1+3y_1),\qquad T(v)=(2x_2-y_2,\; x_2+3y_2).
  • Somando:
T(u)+T(v)=(2x_1-y_1+2x_2-y_2,\; x_1+3y_1+x_2+3y_2).
  • Comparando as componentes, obtemos exatamente
T(u+v)=T(u)+T(v).
Logo a propriedade da aditividade está satisfeita.

Passo 4

Verificação da homogeneidade (passo a passo):
  • Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y).
  • Calcule c u=(c x,\; c y).
  • Aplique T:
T(cu)=T(c x,\;c y)=(2(cx)- (c y),\; (c x)+3(c y)).
  • Fatorando c em cada componente:
T(cu)=(c(2x-y),\; c(x+3y))=c\,(2x-y,\; x+3y)=c\,T(u).
Portanto T(cu)=c\,T(u) para todo escalar c, ou seja, homogeneidade satisfeita.

Passo 5

Conclusão da linearidade:
  • Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é uma transformação linear.
  • Observação rápida (útil na prova): por linearidade, também segue que T(0,0)=(0,0) automaticamente.

Passo 6

Matriz associada à transformação na base canônica (explicação didática):
  • A base canônica de \mathbb{R}^{2} é e_1=(1,0) e e_2=(0,1).
  • A matriz de T na base canônica tem como colunas as imagens de e_1 e e_2, respectivamente: primeira coluna T(e_1), segunda coluna T(e_2).
  • Calcule T(e_1) e T(e_2):
T(1,0)=(2\cdot1-0,\;1+3\cdot0)=(2,\;1),
T(0,1)=(2\cdot0-1,\;0+3\cdot1)=(-1,\;3).
  • Assim a matriz A de T na base canônica é (colocando as imagens como colunas)
A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 7

Determinar a imagem de T (explicação didática sobre imagem/coluna):
  • Definição prática: a imagem de T, denotada \mathrm{Im}(T), é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como T(x,y). Em termos de matriz, \mathrm{Im}(T) é o espaço gerado (span) pelas colunas da matriz A.
  • Então
\mathrm{Im}(T)=\operatorname{span}\{(2,1),\;(-1,3)\}.
  • Para decidir se essa imagem é todo \mathbb{R}^2 ou uma subreta, verifica-se se as duas colunas são linearmente independentes. Uma forma rápida é calcular o determinante da matriz A:
\det(A)=\begin{vmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & 3\end{vmatrix}=2\cdot3-(-1)\cdot1=6+1=7.
  • Como \det(A)=7\neq0, as colunas são linearmente independentes e, portanto, geram todo \mathbb{R}^2. Outra maneira de dizer isso: a matriz tem posto 2, logo a imagem tem dimensão 2, logo é \mathbb{R}^2.]

Passo 8

Interpretação final e observação de aplicação:
  • Como T é linear e sua matriz é invertível (determinante não nulo), T é um isomorfismo de \mathbb{R}^2 com ele próprio: é injetora e sobrejetora. Na prática, para qualquer b\in\mathbb{R}^2 existe um único (x,y) tal que T(x,y)=b.

Resposta

(a) Sim, T é linear.
(b) \displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}.
(c) \mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^{2}.]

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