Considere a transformação linear T: R^{2} \rightarrow R^{2} definida por T(x, y)=(2 x-y, x+3 y).
a) Verifique se T é linear.
b) Determine a matriz associada a T na base canônica.
c) Determine a imagem de T.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por
T(x,y) = (2x-y,\; x+3y).
O que é pedido:
(a) Verificar se T é linear.
(b) Determinar a matriz associada a T na base canônica de \mathbb{R}^{2}.
(c) Determinar a imagem de T.
Informações dadas (úteis para resolver):
A regra que associa a cada vetor (x,y) o vetor (2x-y,\;x+3y).
Domínio e contradomínio são \mathbb{R}^{2}.
Passo 2
Definição útil e ideia de prova (explicação didática): uma transformação T é linear se satisfaz duas propriedades para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}:
Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v).
Homogeneidade (ou multiplicação por escalar): T(cu)=c\,T(u).
Vou verificar essas duas propriedades diretamente usando a fórmula de T. Seja u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2).
Determinar a imagem de T (explicação didática sobre imagem/coluna):
Definição prática: a imagem de T, denotada \mathrm{Im}(T), é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como T(x,y). Em termos de matriz, \mathrm{Im}(T) é o espaço gerado (span) pelas colunas da matriz A.
Para decidir se essa imagem é todo \mathbb{R}^2 ou uma subreta, verifica-se se as duas colunas são linearmente independentes. Uma forma rápida é calcular o determinante da matriz A:
Como \det(A)=7\neq0, as colunas são linearmente independentes e, portanto, geram todo \mathbb{R}^2. Outra maneira de dizer isso: a matriz tem posto 2, logo a imagem tem dimensão 2, logo é \mathbb{R}^2.]
Passo 8
Interpretação final e observação de aplicação:
Como T é linear e sua matriz é invertível (determinante não nulo), T é um isomorfismo de \mathbb{R}^2 com ele próprio: é injetora e sobrejetora. Na prática, para qualquer b\in\mathbb{R}^2 existe um único (x,y) tal que T(x,y)=b.