Considere uma transformação linear T: R^3 R^3, satisfazendo T(2,0,1)=raiz[23]2(-2,0,-1), T(1,1,0)=(1,1,0), T(1,0,0)=(-1,0,0) e seja C=(2,0,1),(1,1,0),(1,0,0)
Determine o núcleo e a imagem de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares! O enunciado pede para a gente encontrar o núcleo e a imagem da transformação linear T: R^3 R^3 . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre o que são núcleo e imagem de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de todos os vetores que a transformação manda para o vetor zero, e a imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a transformação. Vamos usar as informações dadas sobre como a transformação age em alguns vetores específicos para descobrir essas duas coisas.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a transformação T é definida para três vetores que formam o conjunto C = (2,0,1), (1,1,0), (1,0,0) . Isso é importante porque, como T é linear, se a gente souber como ela age nesses vetores, podemos entender como ela age em qualquer vetor do espaço.

Passo 3

Vamos expressar a transformação T como uma matriz. Suponha que a matriz correspondente a T seja:
A = a & b & c d & e & f g & h & k
Sabemos que:
T(2,0,1) = raiz[23]2 cdot (-2,0,-1)
T(1,1,0) = (1,1,0)
T(1,0,0) = (-1,0,0)
Vamos usar essas equações para encontrar os valores de a, b, c, d, e, f, g, h, k .

Passo 4

Aplicando T em (1,0,0) :
A 1 0 0 = a d g = -1 0 0
Isso nos dá:
a = -1, d = 0, g = 0

Passo 5

Aplicando T em (1,1,0) :
A 1 1 0 = a + b d + e g + h = 1 1 0
Como já sabemos que a = -1 , d = 0 , g = 0 :
-1 + b = 1 Rightarrow b = 2
0 + e = 1 Rightarrow e = 1
0 + h = 0 Rightarrow h = 0

Passo 6

Agora, aplicando T em (2,0,1) :
A 2 0 1 = 2a + c 2d + f 2g + k = raiz[23]2 cdot -2 0 -1 = -2raiz[23]2 0 -raiz[23]2
Substituindo os valores conhecidos ( a = -1 , d = 0 , g = 0 ):
2(-1) + c = -2raiz[23]2 Rightarrow -2 + c = -2raiz[23]2 Rightarrow c = -2raiz[23]2 + 2
2(0) + f = 0 Rightarrow f = 0
2(0) + k = -raiz[23]2 Rightarrow k = -raiz[23]2

Passo 7

Agora já temos todos os elementos da matriz A :
A = -1 & 2 & -2raiz[23]2 + 2 0 & 1 & 0 0 & 0 & -raiz[23]2

Passo 8

Para encontrar o núcleo de T , precisamos resolver a equação A x y z = 0 0 0 . Vamos escrever o sistema:
-1 cdot x + 2 cdot y + (-2raiz[23]2 + 2) cdot z = 0
0 cdot x + 1 cdot y + 0 cdot z = 0
0 cdot x + 0 cdot y + (-raiz[23]2) cdot z = 0

Passo 9

Resolvendo o segundo e terceiro equações primeiro:
y = 0
-raiz[23]2 cdot z = 0 Rightarrow z = 0
Substituindo y = 0 e z = 0 na primeira equação:
-1 cdot x = 0 Rightarrow x = 0

Passo 10

Então, o único vetor que satisfaz A x y z = 0 0 0 é (0,0,0) . Isso significa que o núcleo de T é apenas o vetor zero.

Passo 11

Agora, para encontrar a imagem de T , olhamos as colunas da matriz A . A imagem é gerada pelas colunas linearmente independentes de A . As colunas de A são:
-1 0 0 , 2 1 0 , -2raiz[23]2 + 2 0 -raiz[23]2
Vamos verificar se elas são linearmente independentes.

Passo 12

Observamos que a terceira coluna não é uma combinação linear das primeiras duas. Portanto, todas as três colunas são linearmente independentes, o que significa que a imagem de T é todo o espaço R^3 .

Resposta

O núcleo de T é apenas o vetor zero, isto é, Núc<=o(T) = (0, 0, 0) ú. A imagem de T é todo o espaço tridimensional, ou seja, Ima>=m(T) = R^3 .

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