Use esse método para encontrar B^10, onde B é a matriz 3 times 3 dada por
B=[lll 1 & 1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 ]
Para isso, você deve: obter a equação característica da matriz B; obter os autovalores de B; obter os autovetores associados a cada um desses autovalores; verificar que os autovetores obtidos são de fato LI; escrever a matriz B como B=P D P^-1 onde D é uma matriz diagonal e P é uma matriz invertível, justificando o fato de a matriz P ser invertível usando os resultados dos subitens anteriores; e, finalmente, usar o resultado do subitem (g) anterior para calcular B^10.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa encontrar B^10, onde B é uma matriz 3 times 3. Para isso, vamos usar alguns conceitos importantes como equação característica, autovalores, autovetores, e a diagonalização da matriz. Vamos precisar aplicar esses passos para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a equação característica da matriz B. A equação característica é uma equação polinomial que a gente obtém calculando o determinante da matriz B - lambda I, onde lambda é um escalar e I é a matriz identidade do mesmo tamanho que B.
Então, temos:
B - lambda I = 1 - lambda & 1 & 0 0 & 2 - lambda & 0 0 & 0 & 3 - lambda
O determinante de uma matriz triangular (como essa) é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(B - lambda I) = (1 - lambda)(2 - lambda)(3 - lambda)
Portanto, a equação característica é:
(1 - lambda)(2 - lambda)(3 - lambda) = 0

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de B. Os autovalores são os valores de lambda que satisfazem a equação característica que encontramos.
Resolvendo a equação:
(1 - lambda)(2 - lambda)(3 - lambda) = 0
As soluções são:
lambda = 1, 2, 3
Então, os autovalores de B são 1, 2 e 3.

Passo 4

Vamos agora achar os autovetores associados a cada um desses autovalores. Para cada autovalor [\lambda), resolvemos a equação para encontrar o vetor .
Para :
Resolvendo , temos:
Isso nos dá . pode ser qualquer número, então um autovetor associado a é:
Para :
Resolvendo , temos:
Isso nos dá . Então, e . Um autovetor associado a é:
Para :
Resolvendo , temos:
Isso nos dá . Substituindo na primeira equação, , então . pode ser qualquer número, então um autovetor associado a é:

Passo 5

Agora, precisamos verificar se os autovetores que encontramos são linearmente independentes (LI). Uma forma simples de ver isso é montar uma matriz com esses autovetores como colunas e conferir se o determinante dessa matriz é diferente de zero.
Vamos formar a matriz P com os autovetores:
P = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Calculando o determinante de P:
det(P) = 1 cdot 1 & 0 0 & 1 - 1 cdot 0 & 0 0 & 1 + 0 cdot 0 & 1 0 & 0 = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 1 cdot (0 cdot 1 - 0 cdot 0) + 0 = 1 neq 0
Como o determinante de P é diferente de zero, os autovetores são linearmente independentes.

Passo 6

Agora, vamos escrever a matriz B como B = P D P^-1, onde D é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal e P é a matriz formada pelos autovetores.
Sabemos que:
D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3
Então, temos:
B = P D P^-1
Como os autovetores são linearmente independentes, a matriz P é invertível. Isso é importante porque, sem a invertibilidade de P, não conseguiríamos realizar a diagonalização.

Passo 7

Finalmente, vamos usar a expressão B = P D P^-1 para calcular B^10. Uma das vantagens de diagonalizar a matriz é que elevar B a uma potência fica mais fácil, já que:
B^10 = (P D P^-1)^10 = P D^10 P^-1
Como D é diagonal, D^10 é simplesmente a matriz diagonal com cada elemento da diagonal elevada à décima potência:
D^10 = 1^10 & 0 & 0 0 & 2^10 & 0 0 & 0 & 3^10 = 1 & 0 & 0 0 & 1024 & 0 0 & 0 & 59049
Então, multiplicamos P, D^10 e P^-1 para obter B^10:
B^10 = P D^10 P^-1
Realizando essa multiplicação, obtemos a matriz B^10.

Resposta

A matriz B^10 é dada por:
B^10 = 1 & 10 & 45 0 & 1024 & 0 0 & 0 & 59049

Exercícios relacionados