Use esse método para encontrar , onde é a matriz dada por
Para isso, você deve: obter a equação característica da matriz B; obter os autovalores de B; obter os autovetores associados a cada um desses autovalores; verificar que os autovetores obtidos são de fato LI; escrever a matriz B como B=P D P^-1 onde D é uma matriz diagonal e P é uma matriz invertível, justificando o fato de a matriz P ser invertível usando os resultados dos subitens anteriores; e, finalmente, usar o resultado do subitem (g) anterior para calcular B^10.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa encontrar B^10, onde B é uma matriz 3 times 3. Para isso, vamos usar alguns conceitos importantes como equação característica, autovalores, autovetores, e a diagonalização da matriz. Vamos precisar aplicar esses passos para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a equação característica da matriz B. A equação característica é uma equação polinomial que a gente obtém calculando o determinante da matriz B - lambda I, onde lambda é um escalar e I é a matriz identidade do mesmo tamanho que B.
Agora, vamos encontrar os autovalores de B. Os autovalores são os valores de lambda que satisfazem a equação característica que encontramos.
Resolvendo a equação:
(1 - lambda)(2 - lambda)(3 - lambda) = 0
As soluções são:
lambda = 1, 2, 3
Então, os autovalores de B são 1, 2 e 3.
Passo 4
Vamos agora achar os autovetores associados a cada um desses autovalores. Para cada autovalor [\lambda), resolvemos a equação para encontrar o vetor .
Para :
Resolvendo , temos:
Isso nos dá . pode ser qualquer número, então um autovetor associado a é:
Para :
Resolvendo , temos:
Isso nos dá . Então, e . Um autovetor associado a é:
Para :
Resolvendo , temos:
Isso nos dá . Substituindo na primeira equação, , então . pode ser qualquer número, então um autovetor associado a é:
Passo 5
Agora, precisamos verificar se os autovetores que encontramos são linearmente independentes (LI). Uma forma simples de ver isso é montar uma matriz com esses autovetores como colunas e conferir se o determinante dessa matriz é diferente de zero.
Como o determinante de P é diferente de zero, os autovetores são linearmente independentes.
Passo 6
Agora, vamos escrever a matriz B como B = P D P^-1, onde D é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal e P é a matriz formada pelos autovetores.
Sabemos que:
D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3
Então, temos:
B = P D P^-1
Como os autovetores são linearmente independentes, a matriz P é invertível. Isso é importante porque, sem a invertibilidade de P, não conseguiríamos realizar a diagonalização.
Passo 7
Finalmente, vamos usar a expressão B = P D P^-1 para calcular B^10. Uma das vantagens de diagonalizar a matriz é que elevar B a uma potência fica mais fácil, já que:
B^10 = (P D P^-1)^10 = P D^10 P^-1
Como D é diagonal, D^10 é simplesmente a matriz diagonal com cada elemento da diagonal elevada à décima potência: