Ter em mãos a diagonalização de uma matriz
quadrada permite fazer vários cálculos com
de maneira extremamente simples. Um exemplo é a potenciação. O motivo é que fazer a potenciação de uma matriz diagonal é muito fácil, pois se por exemplo
, então
para qualquer inteiro positivo
. Por outro lado, se
, teremos
observando que cada um dos
fatores
reduzem à identidade, pois
. Então, por exemplo,
, etc. Use este fato para calcular
, onde
é a nossa matriz do subitem (c).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz quadrada
que pode ser diagonalizada, ou seja, escrita como
, onde
é uma matriz diagonal e
é uma matriz invertível. O conteúdo envolvido aqui é diagonalização de matrizes e potenciação de matrizes. Para resolver, vamos precisar saber como elevar uma matriz diagonal a uma potência qualquer e como usar a relação
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa diagonalizar uma matriz. Diagonalizar
significa encontrar uma matriz
e uma matriz diagonal
tal que
. A matriz
contém os autovalores de
na diagonal, e as colunas de
são os autovetores correspondentes.
Passo 3
Agora, queremos calcular
. Em vez de multiplicar
por ela mesma 10 vezes, que é trabalhoso, vamos usar a propriedade que se
, então
. Isso é muito mais fácil porque
é uma matriz diagonal.
Passo 4
Vamos entender como elevar uma matriz diagonal
a uma potência. Se
, então
. Ou seja, cada elemento na diagonal é elevado à potência
.
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso, temos que:
Isso porque, ao multiplicar
por ela mesma, os
intermediários se cancelam, ficando apenas
.
Passo 6
Então, para calcular
, basta elevar cada autovalor de
à décima potência. Se, por exemplo,
, então:
Passo 7
Finalmente, substituímos
na expressão de
:
Isso nos dá a matriz
elevada à décima potência de forma simples e eficiente.
Resposta
Usando a diagonalização de
, a matriz
é igual a
, onde
é a matriz diagonal com cada autovalor de
elevado à décima potência.