Ter em mãos a diagonalização de uma matriz A quadrada permite fazer vários cálculos com A de maneira extremamente simples. Um exemplo é a potenciação. O motivo é que fazer a potenciação de uma matriz diagonal é muito fácil, pois se por exemplo B=diag(lambda1, cdots, lambdan), então B^k=diag(lambda1^k, cdots, lambdan^k) para qualquer inteiro positivo k. Por outro lado, se A=P D P^-1, teremos
A^k & =(P D P^-1)(P D P^-1) cdots(P D P^-1)(k fatores) & =P D(P^-1 P) D(P^-1 P) cdots(P^-1 P) D P^-1 (associatividade do produto matricial) & =P D(P^-1 P) D(P^-1 P) cdots(P^-1 P) D P^-1 (associatividade do produto matricial) & =P D^k P^-1,
observando que cada um dos k fatores (P^-1 P) reduzem à identidade, pois P^-1 P=In. Então, por exemplo, A^500=P D^500 P^-1, etc. Use este fato para calcular A^10, onde A é a nossa matriz do subitem (c).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz quadrada A que pode ser diagonalizada, ou seja, escrita como A = P D P^-1 , onde D é uma matriz diagonal e P é uma matriz invertível. O conteúdo envolvido aqui é diagonalização de matrizes e potenciação de matrizes. Para resolver, vamos precisar saber como elevar uma matriz diagonal a uma potência qualquer e como usar a relação A^k = P D^k P^-1 .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa diagonalizar uma matriz. Diagonalizar A significa encontrar uma matriz P e uma matriz diagonal D tal que A = P D P^-1 . A matriz D contém os autovalores de A na diagonal, e as colunas de P são os autovetores correspondentes.

Passo 3

Agora, queremos calcular A^10 . Em vez de multiplicar A por ela mesma 10 vezes, que é trabalhoso, vamos usar a propriedade que se A = P D P^-1 , então A^k = P D^k P^-1 . Isso é muito mais fácil porque D é uma matriz diagonal.

Passo 4

Vamos entender como elevar uma matriz diagonal D a uma potência. Se D = diag(lambda1, lambda2, dots, lambdan) , então D^k = diag(lambda1^k, lambda2^k, dots, lambdan^k) . Ou seja, cada elemento na diagonal é elevado à potência k .

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso, temos que:
A^10 = ( P D P^-1 )^10 = P D^10 P^-1
Isso porque, ao multiplicar A por ela mesma, os P^-1 P intermediários se cancelam, ficando apenas P D^10 P^-1 .

Passo 6

Então, para calcular D^10 , basta elevar cada autovalor de D à décima potência. Se, por exemplo, D = diag(2, 3, 5) , então:
D^10 = diag(2^10, 3^10, 5^10) = diag(1024, 59049, 9765625)

Passo 7

Finalmente, substituímos D^10 na expressão de A^10 :
A^10 = P , diag(1024, 59049, 9765625) , P^-1
Isso nos dá a matriz A elevada à décima potência de forma simples e eficiente.

Resposta

Usando a diagonalização de A , a matriz A^10 é igual a P D^10 P^-1 , onde D^10 é a matriz diagonal com cada autovalor de A elevado à décima potência.

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