Considere a transformaçâo linear T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x-y, y-z, z-x).
Determine a matriz que representa T com respeito à base canônica. Esta matriz é invertível? Justifique.

Passo 1

O enunciado diz que TcolonR^3toR^3 é dada por
T(x,y,z) = (,x - y,;y - z,;z - x,)
O objetivo é achar a matriz de T na base canônica e verificar se ela é invertível.

Passo 2

Para montar a matriz na base canônica e1,e2,e3, basta calcular T(ei):
T(e1)=T(1,0,0)=(1-0,;0-0,;0-1)=(1,0,-1),
T(e2)=T(0,1,0)=(0-1,;1-0,;0-0)=(-1,1,0),
T(e3)=T(0,0,1)=(0-0,;0-1,;1-0)=(0,-1,1)
Esses vetores são as colunas da matriz A de T na base canônica:
A = 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 -1 & 0 & 1

Passo 3

Para verificar a invertibilidade, note que a soma das colunas de A dá o vetor zero:
10-1 + -110 + 0-11 = 000
Isso mostra que as colunas são linearmente dependentes, logo det(A)=0 e ker(T)neq0. Por exemplo,
T(1,1,1) = (1-1,;1-1,;1-1) = (0,0,0)
Como o núcleo não é trivial, A não é invertível.

Resposta

A matriz de T na base canônica é
1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 -1 & 0 & 1
e ela não é invertível, pois det=0 (ou equivalentemente ker(T) contém vetores não nulos).

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