Determine se as transformaçőes, abaixo, são transformaçōes lineares.
T: R^2 R^2, T(r, theta)=(r, theta / 3), onde (r, theta) são as coordenadas polares de (x, y), e T(0)=0.

Passo 1

O enunciado define TcolonR^2toR^2 de modo que, se (x,y) tem coordenadas polares (r,theta), então
T(r,theta) = l(r,tfractheta3r),
e ainda exige T(0) = 0. Queremos verificar se T é linear, isto é, se para todo vetor v e todo escalar c vale
T(c,v) = c,T(v) e T(u+v) = T(u) + T(v)

Passo 2

Vamos testar a propriedade de homogeneidade com c=-1. Seja v=(rcostheta,rsintheta). Então
  • -v em polares tem raio r e ângulo theta+pi,
  • aplicando T a -v obtemos T(-v) = Tl(r,theta+pir) = l(r,tfractheta+pi3r) = l(r,tfractheta3 + tfracpi3r)

Passo 3

Por outro lado,
T(v) = T(r,theta) = l(r,tfractheta3r),
de modo que
-,T(v)
é o vetor de raio r e ângulo tfractheta3 + pi. Em coordenadas polares,
-,T(v) = l(r,tfractheta3 + pir)
Comparando ângulos:
tfractheta3 + tfracpi3 ;neq; tfractheta3 + pi (mod (2pi)),
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T(-v) ;neq; -,T(v)

Passo 4

Como falha a condição T(c,v) = c,T(v) para c=-1, concluímos que T não é uma transformação linear.

Resposta

A transformação T não é linear.

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