Determine se as transformaçőes, abaixo, são transformaçōes lineares.
, onde
são as coordenadas polares de
.
Passo 1
O enunciado define
de modo que, se
tem coordenadas polares
, então
e ainda exige
. Queremos verificar se
é linear, isto é, se para todo vetor
e todo escalar
vale
Passo 2
Vamos testar a propriedade de homogeneidade com
. Seja
. Então
-
em polares tem raio e ângulo , - aplicando
a obtemos
Passo 3
Por outro lado,
de modo que
é o vetor de raio
e ângulo
. Em coordenadas polares,
Comparando ângulos:
logo
Passo 4
Como falha a condição
para
, concluímos que
não é uma transformação linear.
Resposta
A transformação
não é linear.