Considere a transformaçâo linear
.
Determine uma base para o núcleo c uma base para o espaço imagem. Calcule a nulidade e a ordem desta transformação linear.
Determine uma base para o núcleo c uma base para o espaço imagem. Calcule a nulidade e a ordem desta transformação linear.
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
e pede:
– uma base para o núcleo de ,
– uma base para a imagem de ,
– a nulidade de (dimensão do núcleo),
– a ordem (posto) de (dimensão da imagem).
Vamos usar as definições de núcleo e imagem, resolver sistemas lineares e empregar vetores imagem da base canônica.
– uma base para o núcleo de
– uma base para a imagem de
– a nulidade de
– a ordem (posto) de
Vamos usar as definições de núcleo e imagem, resolver sistemas lineares e empregar vetores imagem da base canônica.
Passo 2
O núcleo é
Isso dá o sistema
Da primeira e da segunda equações vem
e
, logo
. A terceira é redundante.
Passo 3
Portanto
Logo a base do núcleo é
e a nulidade é
Passo 4
A imagem é
onde
,
,
. Calculamos:
Passo 5
Os vetores
são ligados por
, então há dependência linear. Podemos escolher, por exemplo,
como base. Assim
e o posto é
Resposta
Base do núcleo:
Base da imagem:
Nulidade:
Ordem (posto):
Base da imagem:
Nulidade:
Ordem (posto):