Considere a transformaçâo linear T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x-y, y-z, z-x).
Determine uma base para o núcleo c uma base para o espaço imagem. Calcule a nulidade e a ordem desta transformação linear.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (,x - y,;y - z,;z - x,)
e pede:
– uma base para o núcleo de T,
– uma base para a imagem de T,
– a nulidade de T (dimensão do núcleo),
– a ordem (posto) de T (dimensão da imagem).
Vamos usar as definições de núcleo e imagem, resolver sistemas lineares e empregar vetores imagem da base canônica.

Passo 2

O núcleo é
ker(T) = (x,y,z)inR^3 mid T(x,y,z) = (0,0,0)
Isso dá o sistema
x - y = 0, y - z = 0, z - x = 0
Da primeira e da segunda equações vem x = y e y = z, logo x = y = z. A terceira é redundante.

Passo 3

Portanto
Logo a base do núcleo é e a nulidade é

Passo 4

A imagem é
onde , , . Calculamos:

Passo 5

Os vetores
são ligados por , então há dependência linear. Podemos escolher, por exemplo, como base. Assim
e o posto é

Resposta

Base do núcleo: (1,1,1)
Base da imagem: (1,0,-1),,(-1,1,0)
Nulidade: 1
Ordem (posto): 2

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