Considere a transformação linear T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(2 x-y-z, x-z,-x+y+2 z)
a) Defina autovalor e autovetor de uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T:R^3toR^3, T(x,y,z)=(2x-y-z,;x-z,;-x+y+2z)
e pede para definirmos autovalor e autovetor. Estamos em Álgebra Linear, no tópico espectro de uma transformação, e vamos usar a relação fundamental
T(v)=lambda,v

Passo 2

Procuramos vetores vinR^3, vneq0, que ao serem transformados fiquem apenas “esticados” ou “encolhidos”, sem mudar de direção. Isso se traduz pela equação em bloco
T(v)=lambda,v,
onde lambda é um escalar.

Passo 3

Chamamos de autovalor de T qualquer escalar lambda para o qual exista um vetor não-nulo v satisfazendo
T(v)=lambda,v
Esse vetor vneq0 que verifica a mesma relação é chamado de autovetor de T associado ao autovalor lambda.

Resposta

(a) Um autovalor é um escalar lambdainR tal que exista um vetor vneq0 com T(v)=lambdav
(b) Um autovetor é esse vetor não-nulo v que satisfaz T(v)=lambdav para algum autovalor lambda.

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