Considere a transformação linear T: R^3 R^3 tal que T(1,0,1)=(2,1,-1), T(1,1,1)=(1,0,-1) e T(0,1,2)=(-1,0,1). Determine T(3,-1,1).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:R^3toR^3 e fornece as imagens de três vetores
v1=(1,0,1), v2=(1,1,1), v3=(0,1,2)
Como estes três vetores são linearmente independentes em R^3, eles formam uma base. Para encontrar T(3,-1,1) vamos:
  1. Expressar (3,-1,1) como combinação linear de v1,v2,v3.
  2. Usar a linearidade de T para obter a imagem desejada.

Passo 2

Procuramos escalares a,b,c tais que
a,v1 + b,v2 + c,v3 = (3,-1,1)
Escrevendo coordenada a coordenada, temos
(a+b,;b+c,;a+b+2c) = (3,-1,1),
o que gera o sistema
a + b = 3, b + c = -1, a + b + 2c = 1

Passo 3

Da terceira equação ;a+b+2c=1 e sabendo a+b=3, vem
3 + 2c = 1 ;Longrightarrow; 2c=-2 ;Longrightarrow; c=-1
Substituindo em b+c=-1
b-1=-1 ;Longrightarrow; b=0,
e então a=3-b=3. Logo
(3,-1,1) = 3,v1 + 0,v2 -1,v3

Passo 4

Pela linearidade de T,
T(3,-1,1) = 3,T(v1) + 0,T(v2) -1,T(v3)
Como T(v1)=(2,1,-1) e T(v3)=(-1,0,1), segue
T(3,-1,1) = 3,(2,1,-1) -(-1,0,1) = (6,3,-3) + (1,0,-1) = (7,3,-4)

Resposta

(7,3,-4)

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