Verifique se a seguinte aplicação é uma transformação linear:
tal que
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma aplicação
que vai de
para
, definida por
. Nosso objetivo é verificar se essa aplicação é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Adição Vetorial:
para quaisquer vetores em . - Multiplicação por Escalar:
para qualquer escalar e vetor em .
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade, a adição vetorial. Se tivermos dois vetores quaisquer
e
em
, então:
Aplicando a transformação
:
Agora, vamos calcular
:
Como
, a primeira propriedade é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
um vetor em
. Então:
Aplicando a transformação
:
Por outro lado, calculando
:
Como
, a segunda propriedade também é satisfeita.
Resposta
Como a aplicação
satisfaz tanto a adição vetorial quanto a multiplicação por escalar, ela é uma transformação linear.