Verifique se a seguinte aplicação é uma transformação linear:
S: R^3 R tal que T(x, y, z)=z

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma aplicação S que vai de R^3 para R , definida por T(x, y, z) = z . Nosso objetivo é verificar se essa aplicação é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T: V W entre dois espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição Vetorial: T(u + v) = T(u) + T(v) para quaisquer vetores u, v em V .
  2. Multiplicação por Escalar: T(cu) = cT(u) para qualquer escalar c e vetor u em V .

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade, a adição vetorial. Se tivermos dois vetores quaisquer u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) em R^3 , então:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Aplicando a transformação T :
T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = z1 + z2
Agora, vamos calcular T(u) + T(v) :
T(u) + T(v) = z1 + z2
Como T(u + v) = T(u) + T(v) , a primeira propriedade é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a multiplicação por escalar. Seja c um escalar e u = (x, y, z) um vetor em R^3 . Então:
cu = (cx, cy, cz)
Aplicando a transformação T :
T(cu) = T(cx, cy, cz) = cz
Por outro lado, calculando cT(u) :
cT(u) = c cdot z = cz
Como T(cu) = cT(u) , a segunda propriedade também é satisfeita.

Resposta

Como a aplicação T(x, y, z) = z satisfaz tanto a adição vetorial quanto a multiplicação por escalar, ela é uma transformação linear.

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