Seja A=[ccccc1 & 0 & 3 & 0 & 2 0 & a+2 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 3 & a^2-1 & a+2] a matriz aumentada de um sistema. Determine os valores de a para os quais:
O sistema tenha infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada de um sistema com 3 equações e 4 incógnitas
O conteúdo aqui é discussão de postos (ranks): como há mais incógnitas (), nunca teremos solução única; ou o sistema é inconsistente ou tem infinitas soluções. Para ter infinitas soluções precisamos que o sistema seja consistente, isto é, que as três equações não entrem em contradição.

Passo 2

Para ver consistência, subtraímos a primeira equação da terceira, eliminando x1 e x3. Fazendo
(Eq3) - (Eq1);: l(x1+3x3+(a^2-1)x4r)-l(x1+3x3r) = (a+2)-2,
obtemos a relação em x4:
(a^2-1),x4 ;=; a

Passo 3

Agora analisamos dois casos:
  1. Se ,a^2-1neq 0, isto é, aneq 1 e aneq -1, então podemos resolver
    x4 = aa^2-1,
    sem contradição. As variáveis x2 e (se houver) mais alguma estarão livres, gerando infinitas soluções.
  2. Se ,a^2-1=0, isto é, a=1 ou a=-1, então a equação fica
    0cdot x4 = a,
    ou seja
    0 = 1(se a=1), 0 = -1(se a=-1),
    o que é impossível. Logo, para a=pm1 o sistema é inconsistente (sem solução).

Resposta

O sistema tem infinitas soluções para todos os valores de a tais que
aneq 1 e aneq -1

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