Seja T: R^3 R^4 a transformação linear T(x, y, z)=(x-y+z, x-y, x+y-z, x-y+z), onde a representa um número real.
Determine a matriz de T escrita na base canônica.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear Tcolon R^3toR^4 definida por
T(x,y,z) = (,x - y + z,;x - y,;x + y - z,;x - y + z,)
Para obter a matriz de T na base canônica, basta calcular as imagens dos vetores da base canônica de R^3,
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1), e usar esses vetores como colunas da matriz.

Passo 2

Calcular T(e1), T(e2) e T(e3):
T(1,0,0) = (,1-0+0,;1-0,;1+0-0,;1-0+0,) = (1,1,1,1),
T(0,1,0) = (,0-1+0,;0-1,;0+1-0,;0-1+0,) = (-1,-1,1,-1),
T(0,0,1) = (,0-0+1,;0-0,;0+0-1,;0-0+1,) = (1,0,-1,1)

Passo 3

Montar a matriz de T cujas colunas são T(e1), T(e2) e T(e3). Assim,
[T]can = 1 & -1 & 1 1 & -1 & 0 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1

Resposta

[T]can = 1 & -1 & 1 1 & -1 & 0 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1

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