Verifique se a seguinte aplicação é uma transformação linear:
tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se a função
que leva vetores de
para
é uma transformação linear. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define uma transformação linear e aplicar essas regras na função dada.
Passo 2
Primeiro, uma transformação
é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Adição de Vetores:
para qualquer vetores . - Multiplicação por Escalar:
para qualquer vetor e escalar .
Além disso, uma transformação linear sempre leva o vetor zero ao vetor zero, ou seja,
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à função dada:
Primeiro, vamos verificar o que acontece com o vetor zero:
Vemos que
não é o vetor zero em
(que seria
).
Passo 4
Como a transformação não leva o vetor zero ao vetor zero, isso já nos mostra que
não é uma transformação linear. Não precisamos nem verificar as outras propriedades porque uma única falha já faz
não ser linear.
Resposta
A aplicação
não é uma transformação linear.