Verifique se a seguinte aplicação é uma transformação linear:
T: R^3 R^4 tal que T(x, y, z)=(2 x-1, y, 2 y, z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se a função T que leva vetores de R^3 para R^4 é uma transformação linear. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define uma transformação linear e aplicar essas regras na função dada.

Passo 2

Primeiro, uma transformação T é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição de Vetores: T(u + v) = T(u) + T(v) para qualquer vetores u, v .
  2. Multiplicação por Escalar: T(cu) = cT(u) para qualquer vetor u e escalar c .
Além disso, uma transformação linear sempre leva o vetor zero ao vetor zero, ou seja, T(0) = 0 .

Passo 3

Vamos aplicar isso à função dada:
T(x, y, z) = (2x - 1, y, 2y, z)
Primeiro, vamos verificar o que acontece com o vetor zero:
T(0, 0, 0) = (2*0 - 1, 0, 2*0, 0) = (-1, 0, 0, 0)
Vemos que T(0, 0, 0) não é o vetor zero em R^4 (que seria (0, 0, 0, 0) ).

Passo 4

Como a transformação não leva o vetor zero ao vetor zero, isso já nos mostra que T não é uma transformação linear. Não precisamos nem verificar as outras propriedades porque uma única falha já faz T não ser linear.

Resposta

A aplicação T(x, y, z) = (2x -1, y, 2y, z) não é uma transformação linear.

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