Considere a transformação linear T: R^2 R^3 tal que
T(1,1)=(1,2,1), T(2,1)=(3,2,2)
Determine T(x, y).

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear Tcolon R^2toR^3 e informa apenas suas imagens de (1,1) e (2,1). Para determinar T(x,y) para qualquer (x,y), vamos:
  1. Verificar que (1,1),(2,1) é base de R^2.
  2. Escrever (x,y) como combinação linear
(x,y) = a,(1,1) + b,(2,1)
  1. Usar a linearidade de T:
T(x,y) = a,T(1,1) + b,T(2,1),
e então simplificar.

Passo 2

Para achar
comparamos coordenadas:
Subtraindo a segunda equação da primeira vem
Substituindo

Passo 3

Pela linearidade,
T(x,y) = a,T(1,1) + b,T(2,1) = (2y - x),(1,2,1) + (x-y),(3,2,2)

Passo 4

Agora calculamos componente a componente:
  1. Primeira coordenada:
(2y - x)cdot 1 + (x-y)cdot 3 = 2y - x + 3x - 3y = 2x - y
  1. Segunda coordenada:
(2y - x)cdot 2 + (x-y)cdot 2 = 4y -2x +2x -2y = 2y
  1. Terceira coordenada:
(2y - x)cdot 1 + (x-y)cdot 2 = 2y - x +2x -2y = x

Resposta

T(x,y) = (,2x - y,;2y,;x,)

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