Verifique quais dentre as funções abaixo são transformações lineares.
T: M2 times 2 R^3 dada por T(lla & b c & d)=(2 a, b+c-a, a-d)

Passo 1

O enunciado apresenta a aplicação
Tcolon M2times2toR^3
definida por
Tl(a & b c & dr) = (2a,;b+c-a,;a-d)
O conteúdo é transformações lineares entre espaços vetoriais, e para verificar linearidade precisamos checar aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Relembrando, T é linear se, para quaisquer M,Nin M2times2 e escalar kinR, valem
  1. T(M+N)=T(M)+T(N)
  2. T(kM)=k,T(M).

Passo 3

Sejam
M=a & b c & d, N=a' & b' c' & d'
Então
M+N =a+a' & b+b' c+c' & d+d',
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T(M+N) =(2(a+a'),,(b+b')+(c+c')-(a+a'),,(a+a')-(d+d'))
Por outro lado,
T(M)+T(N) =(2a,;b+c-a,;a-d)+(2a',;b'+c'-a',;a'-d')
;=l(2a+2a',;(b+c-a)+(b'+c'-a'),;(a-d)+(a'-d')r),
que coincide com T(M+N). Assim, a aditividade vale.

Passo 4

Para homogeneidade, seja kinR. Tem-se
kM =ka & kb kc & kd,
de onde
T(kM) =(2ka,;kb+kc-ka,;ka-kd) =k,(2a,;b+c-a,;a-d) =k,T(M)
Logo, a homogeneidade também vale.

Resposta

A aplicação T é uma transformação linear.

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