Sejam V=(x, y, z) / x-2 y+3 z=0 e W=(x, y, z) / 2 x+y-z=0. Determine:
Uma base para V cap W

Passo 1

O enunciado nos dá dois planos em R^3:
V:;x - 2y + 3z = 0,
W:;2x + y - z = 0
Queremos encontrar uma base de Vcap W, ou seja, todos os vetores (x,y,z) que satisfazem simultaneamente essas duas equações. Para isso, vamos resolver o sistema linear homogêneo formado por elas e parametrizar a solução.

Passo 2

Escrevemos o sistema:
x - 2y + 3z = 0, 2x + y - z = 0
É um sistema de duas equações lineares em três incógnitas, logo esperamos uma reta de soluções (subespaço de dimensão 1).

Passo 3

Da primeira equação isolamos x:
x = 2y - 3z

Passo 4

Substituímos essa expressão de x na segunda equação:
2(2y - 3z) + y - z = 0 ;Longrightarrow; 4y - 6z + y - z = 0 ;Longrightarrow; 5y - 7z = 0 ;Longrightarrow; y = 75,z

Passo 5

Agora voltamos em x = 2y - 3z e colocamos y = tfrac75z:
x = 2cdot75z - 3z = 145z - 155z = -15z
Portanto, toda solução é da forma
(x,y,z) = l(-tfrac15z,;tfrac75z,;zr) = zl(-tfrac15,;tfrac75,;1r)

Passo 6

Para obter vetores com coordenadas inteiras, podemos escolher o parâmetro z=5. Então
(x,y,z) = 5l(-tfrac15,;tfrac75,;1r) = (-1,,7,,5)
Logo Vcap W é a reta gerada por (-1,7,5).

Resposta

Uma base para Vcap W é
,(-1,,7,,5)

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