Considere
uma transformação linear tal que
a) Determine uma base para o Núcleo da transformação
, caso exista.
b) Determine uma base para a Imagem da transformação
, caso exista.
c)
é injetora?
é sobrejetora? Justifique sua resposta.
b) Determine uma base para a Imagem da transformação
c)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pede (a) uma base do núcleo de
, (b) uma base da imagem de
, (c) verificar se
é injetora e/ou sobrejetora. Vamos usar conceitos de espaços nulos (kernel) e colunas (imagem) de transformações lineares.
Passo 2
Para achar o núcleo de
Das duas primeiras equações obtemos . Logo
Uma base de .)
Passo 3
Para a imagem de
observe que, para
,
Logo todo vetor de
é combinação de
e
, e esses dois são linearmente independentes em
. Assim
e uma base de
é
.
Passo 4
Uma transformação linear é injetora se e somente se
. Aqui
tem dimensão 1 (não trivial), logo
não é injetora.
Ela é sobrejetora se , ou equivalentemente
. Mas
, logo
não é sobrejetora.
Ela é sobrejetora se
Resposta
(a) Base do núcleo:
.
(b) Base da imagem: .
(c) não é injetora (núcleo não trivial) e não é sobrejetora (imagem de dimensão 2).
(b) Base da imagem:
(c)