Considere T: R^3 R^3 uma transformação linear tal que
T(x, y, z)=(z, x-y,-z)
a) Determine uma base para o Núcleo da transformação T, caso exista.
b) Determine uma base para a Imagem da transformação T, caso exista.
c) T é injetora? T é sobrejetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(z,;x-y,;-z)
e pede (a) uma base do núcleo de T, (b) uma base da imagem de T, (c) verificar se T é injetora e/ou sobrejetora. Vamos usar conceitos de espaços nulos (kernel) e colunas (imagem) de transformações lineares.

Passo 2

Para achar o núcleo de
Das duas primeiras equações obtemos . Logo
Uma base de .)

Passo 3

Para a imagem de T observe que, para (x,y,z),
T(x,y,z)=(z,;x-y,;-z) =(x-y),(0,1,0)+z,(1,0,-1)
Logo todo vetor de Im(T) é combinação de (0,1,0) e (1,0,-1), e esses dois são linearmente independentes em R^3. Assim
Im(T)=span(0,1,0),,(1,0,-1),
e uma base de Im(T) é (0,1,0),,(1,0,-1).

Passo 4

Uma transformação linear é injetora se e somente se ker(T)=0. Aqui ker(T) tem dimensão 1 (não trivial), logo T não é injetora.
Ela é sobrejetora se Im(T)= R^3, ou equivalentemente dimIm(T)=3. Mas dimIm(T)=2<3, logo T não é sobrejetora.

Resposta

(a) Base do núcleo: (1,1,0).
(b) Base da imagem: (0,1,0),;(1,0,-1).
(c) T não é injetora (núcleo não trivial) e não é sobrejetora (imagem de dimensão 2).

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