Sejam V um espaço vetorial sobre K e B=vii in I uma base de V. Para cada i in I, defina um funcional linear fi: V longrightarrow K tal que fi(vj)=de<ai j.
Mostre que fii in I é uma base de V^* se, e somente, se I for finito.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial V sobre um corpo K e uma base B = vii in I desse espaço. Para cada índice i no conjunto I , definimos um funcional linear fi: V K que satisfaz fi(vj) = de<aij , onde de<aij é o delta de Kronecker (igual a 1 se i = j e 0 caso contrário).
A questão quer que mostremos que o conjunto fii in I forma uma base do espaço dual V^* se, e somente se, o conjunto de índices I for finito. Vamos precisar entender conceitos como espaço vetorial, base, funcional linear e espaço dual para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço dual. O espaço dual V^* é o conjunto de todos os funcionais lineares de V para K . Ou seja, cada elemento de V^* é uma função que pega vetores de V e retorna elementos de K , respeitando as propriedades de linearidade.

Passo 3

Agora, uma base de V^* é um conjunto de funcionais lineares que são lineares e independentes, e que qualquer funcional em V^* pode ser escrito como uma combinação linear desses funcionais da base.
No nosso caso, queremos mostrar que fii in I é uma base de V^* se e somente se I for finito.

Passo 4

Vamos primeiro assumir que I é finito e mostrar que fii in I é uma base de V^* .
Como I é finito, digamos que I = 1, 2, dots, n . A base B = v1, v2, dots, vn de V possui exatamente n vetores.
Cada fi é um funcional linear que “seleciona” o coeficiente de vi quando um vetor é expresso na base B .

Passo 5

Para mostrar que fi é uma base de V^* , precisamos verificar duas coisas:
  1. Linearmente Independentes: Nenhum fi pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  2. Geradores: Qualquer funcional linear em V^* pode ser escrito como combinação linear dos fi .
Como I é finito, temos n funcionais f1, f2, dots, fn . Suponha que exista uma combinação linear que dá o funcional nulo:
a1 f1 + a2 f2 + dots + an fn = 0
Aplicando esse funcional nulo a cada vj , temos:
a1 f1(vj) + a2 f2(vj) + dots + an fn(vj) = 0
Mas fi(vj) = de<aij , então:
aj = 0
Isso mostra que os fi são linearmente independentes.
Além disso, qualquer funcional f in V^* pode ser escrito como:
f = a1 f1 + a2 f2 + dots + an fn
onde ai = f(vi) . Portanto, os fi são geradores de V^* .

Passo 6

Agora, vamos considerar o caso em que I é infinito e mostrar que fii in I não forma uma base de V^* .
Em um conjunto infinito, as dimensões do espaço dual podem ser maiores do que o próprio espaço, o que significa que há mais funcionais lineares do que aqueles que podem ser expressos como combinações lineares infinitas dos fi .
Além disso, em espaços com base infinita, o dual V^* contém funcionais que não podem ser representados apenas pelos fi definidos, já que precisam “agregar” infinitamente muitos componentes, o que não é possível apenas com combinações finitas.

Resposta

Portanto, fii in I é uma base de V^* se, e somente se, o conjunto de índices I for finito.

Exercícios relacionados