Sejam
um espaço vetorial sobre
e
uma base de
. Para cada
, defina um funcional linear
tal que
.
Mostre que
é uma base de
se, e somente, se
for finito.
Mostre que
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
sobre um corpo
e uma base
desse espaço. Para cada índice
no conjunto
, definimos um funcional linear
que satisfaz
, onde
é o delta de Kronecker (igual a 1 se
e 0 caso contrário).
A questão quer que mostremos que o conjunto
forma uma base do espaço dual
se, e somente se, o conjunto de índices
for finito. Vamos precisar entender conceitos como espaço vetorial, base, funcional linear e espaço dual para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço dual. O espaço dual
é o conjunto de todos os funcionais lineares de
para
. Ou seja, cada elemento de
é uma função que pega vetores de
e retorna elementos de
, respeitando as propriedades de linearidade.
Passo 3
Agora, uma base de
é um conjunto de funcionais lineares que são lineares e independentes, e que qualquer funcional em
pode ser escrito como uma combinação linear desses funcionais da base.
No nosso caso, queremos mostrar que
é uma base de
se e somente se
for finito.
Passo 4
Vamos primeiro assumir que
é finito e mostrar que
é uma base de
.
Como
é finito, digamos que
. A base
de
possui exatamente
vetores.
Cada
é um funcional linear que “seleciona” o coeficiente de
quando um vetor é expresso na base
.
Passo 5
Para mostrar que
é uma base de
, precisamos verificar duas coisas:
- Linearmente Independentes: Nenhum
pode ser escrito como combinação linear dos outros. - Geradores: Qualquer funcional linear em
pode ser escrito como combinação linear dos .
Como
é finito, temos
funcionais
. Suponha que exista uma combinação linear que dá o funcional nulo:
Aplicando esse funcional nulo a cada
, temos:
Mas
, então:
Isso mostra que os
são linearmente independentes.
Além disso, qualquer funcional
pode ser escrito como:
onde
. Portanto, os
são geradores de
.
Passo 6
Agora, vamos considerar o caso em que
é infinito e mostrar que
não forma uma base de
.
Em um conjunto infinito, as dimensões do espaço dual podem ser maiores do que o próprio espaço, o que significa que há mais funcionais lineares do que aqueles que podem ser expressos como combinações lineares infinitas dos
.
Além disso, em espaços com base infinita, o dual
contém funcionais que não podem ser representados apenas pelos
definidos, já que precisam “agregar” infinitamente muitos componentes, o que não é possível apenas com combinações finitas.
Resposta
Portanto,
é uma base de
se, e somente se, o conjunto de índices
for finito.