Se T: R^2 R^2 é um operador linear, definido por T(x, y)=(a x+b y, c x+d y) com a d-b c neq 0, mostre que T é injetora.

Passo 1

O enunciado diz que temos um operador linear
T: R^2 to R^2, T(x,y) = (a x + b y,; c x + d y)
e que o determinante
deta & b c & d = ad - bc neq 0
O objetivo é mostrar que T é injetora. Para isso vamos usar o fato de que um operador linear é injetor se, e somente se, seu núcleo é trivial.

Passo 2

Lembrando que
ker(T) = (x,y)inR^2 mid T(x,y) = (0,0)
Mostramos que ker(T) = (0,0). Isso garante a injetividade de T.

Passo 3

Vamos então resolver
T(x,y) = (0,0) Long<=ftrightarrow a x + b y = 0, c x + d y = 0

Passo 4

Como ad - bc neq 0, pelo método de Cramer esse sistema só admite a solução
x = 0, y = 0
Logo ker(T) = (0,0).

Resposta

T é injetora, pois seu núcleo é somente o vetor nulo.

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