Encontre as bases duais e biduais de cada uma das seguintes bases do . .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as bases duais e biduais de uma base específica do . Isso envolve conceitos de álgebra linear, onde a base dual é formada por vetores que “conversam” com a base original de um jeito especial. Pra resolver isso, vamos precisar entender como construir a base dual usando matrizes e operações básicas de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a base dada é, de fato, uma base de . Temos os vetores . Para ser uma base, esses vetores precisam ser linearmente independentes. Vamos montar a matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante.
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de R^3.
Passo 3
Agora, vamos construir a base dual. A base dual consiste em vetores (na verdade, funcionais lineares) que satisfazem a relação phii(vj) = de<aij, onde de<aij é o delta de Kronecker (1 se i=j, 0 caso contrário).
Para encontrar a base dual, precisamos encontrar a matriz inversa de A. A matriz inversa nos dará os coeficientes dos funcionais duals.
Como det(A) = 1, a inversa de A é simplesmente a matriz adjunta de A.