Encontre as bases duais e biduais de cada uma das seguintes bases do R^3.
(1,-2,3),(1,-1,1),(2,-4,7).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as bases duais e biduais de uma base específica do R^3. Isso envolve conceitos de álgebra linear, onde a base dual é formada por vetores que “conversam” com a base original de um jeito especial. Pra resolver isso, vamos precisar entender como construir a base dual usando matrizes e operações básicas de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a base dada é, de fato, uma base de R^3. Temos os vetores (1,-2,3), (1,-1,1), (2,-4,7). Para ser uma base, esses vetores precisam ser linearmente independentes. Vamos montar a matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante.
A matriz fica assim:
A = 1 & 1 & 2 -2 & -1 & -4 3 & 1 & 7
Calculando o determinante de A:
det(A) = 1(-1 cdot 7 - (-4) cdot 1) - 1(-2 cdot 7 - (-4) cdot 3) + 2(-2 cdot 1 - (-1) cdot 3)
det(A) = 1(-7 + 4) - 1(-14 + 12) + 2(-2 + 3)
det(A) = 1(-3) - 1(-2) + 2(1) = -3 + 2 + 2 = 1
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de R^3.

Passo 3

Agora, vamos construir a base dual. A base dual consiste em vetores (na verdade, funcionais lineares) que satisfazem a relação phii(vj) = de<aij, onde de<aij é o delta de Kronecker (1 se i=j, 0 caso contrário).
Para encontrar a base dual, precisamos encontrar a matriz inversa de A. A matriz inversa nos dará os coeficientes dos funcionais duals.
Como det(A) = 1, a inversa de A é simplesmente a matriz adjunta de A.
Calculando a inversa:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) = adj(A)
Calculamos a adjunta:
adj(A) = det-1 & -4 1 & 7 & -det-2 & -4 3 & 7 & det-2 & -1 3 & 1 -det1 & 2 1 & 7 & det1 & 2 3 & 7 & -det1 & 1 3 & 1 det1 & 2 -1 & -4 & -det1 & 2 -2 & -4 & det1 & 1 -2 & -1
Calculando cada menor:
  • Primeiro elemento: (-1)(7) - (-4)(1) = -7 + 4 = -3
  • Segundo elemento: -((-2)(7) - (-4)(3)) = -(-14 + 12) = -(-2) = 2
  • Terceiro elemento: (-2)(1) - (-1)(3) = -2 + 3 = 1
  • Quarto elemento: -(1 cdot 7 - 2 cdot 1) = -(7 - 2) = -5
  • Quinto elemento: (1 cdot 7 - 2 cdot 3) = 7 - 6 = 1
  • Sexto elemento: -(1 cdot 1 - 1 cdot 3) = -(1 - 3) = 2
  • Sétimo elemento: (1 cdot (-4) - 2 cdot (-1)) = -4 + 2 = -2
  • Oitavo elemento: -(1 cdot (-4) - 2 cdot (-2)) = -(-4 + 4) = 0
  • Nono elemento: (1 cdot (-1) - 1 cdot (-2)) = -1 + 2 = 1
Então, a adjunta de A é:
adj(A) = -3 & 2 & 1 -5 & 1 & 2 -2 & 0 & 1
Portanto, a matriz inversa A^-1 é:
A^-1 = -3 & 2 & 1 -5 & 1 & 2 -2 & 0 & 1

Passo 4

Cada linha da matriz inversa corresponde aos coeficientes dos funcionais duals. Então, a base dual é:
phi1 = -3x1 + 2x2 + x3 phi2 = -5x1 + x2 + 2x3 phi3 = -2x1 + 0x2 + x3
Simplificando:
phi1 = -3x1 + 2x2 + x3 phi2 = -5x1 + x2 + 2x3 phi3 = -2x1 + x3

Resposta

A base dual de (1,-2,3), (1,-1,1), (2,-4,7) é dada por:
phi1 = -3x1 + 2x2 + x3 phi2 = -5x1 + x2 + 2x3 phi3 = -2x1 + x3
Como a base original é bidual, a base bidual é a própria base original: (1,-2,3), (1,-1,1), (2,-4,7).

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