Seja V um espaço vetorial. Uma função |cdot|: V longrightarrow R é uma norma quando satisfazer as seguintes propriedades:
(I) |x| >= 0 forall x in E e |x|=0 Leftrightarrow x=0.
(II) |lambda x|=|lambda||x| forall lambda in K e forall x in E.
(III) |x+y| <=|x|+|y| para todos x, y in E.
Nesse caso dizemos que (V,|cdot|) é um espaço vetorial normado. Do mais, um subconjunto B do espaço vetorial normado V é dito limitado, quando existir uma contante K>0 tal que |x| <= K para todo x in B. Além disso, um funcional linear f em V é dito contínuo, quando existir uma contante C satisfazendo |f(x)| <= C|x| para todo x in V. Mostre que: Se B é um subconjunto do espaço vetorial normado V tal que f(B) é limitado para todo funcional linear contínuo f, então B é limitado.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Temos um espaço vetorial normado V com uma norma |cdot| . A gente quer mostrar que se todo conjunto de funcionais lineares contínuos f mapeando B resulta em conjuntos limitados, então o próprio conjunto B também é limitado. Basicamente, se qualquer função linear contínua não deixa B “bombar”, então B não pode ser “grande” demais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto B ser limitado. Diz que existe um número K > 0 tal que para todo x in B , temos |x| <= K . Nosso objetivo é encontrar esse K .

Passo 3

Agora, vamos pensar nos funcionais lineares contínuos. Por definição, para cada funcional f contínuo, existe uma constante Cf tal que |f(x)| <= Cf |x| para todo x in V . Isso significa que cada f controla o “tamanho” de x de alguma forma.

Passo 4

O próximo passo é usar uma propriedade importante das normas: a norma de um vetor pode ser expressa como o supremo (maior valor) dos valores absolutos de todos os funcionais contínuos avaliados nesse vetor. Em fórmula, isso fica:
|x| = sup |f(x)| : f é funcional linear contínuo em V, |f| <= 1 éí
Isso nos diz que para medir |x| , a gente olha para todos os possíveis f(x) e pega o maior valor absoluto.

Passo 5

Como f(B) é limitado para todo f contínuo, existe uma constante Kf tal que |f(x)| <= Kf para todo x in B . Mas queremos um K único que serve para todos os x in B .

Passo 6

Note que, se para todo f com |f| <= 1 , temos |f(x)| <= Kf , então o supremo dessas quantidades também será limitado. Ou seja:
|x| = sup |f(x)| : |f| <= 1 <= sup Kf
Se todo Kf é limitado por algum valor, digamos K , então |x| <= K para todo x in B .

Passo 7

Portanto, concluímos que existe um K tal que |x| <= K para todo x in B , ou seja, B é limitado.

Resposta

Portanto, se para todo funcional linear contínuo f , f(B) é limitado, então o conjunto B também é limitado.

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