Seja
um espaço vetorial. Uma função
é uma norma quando satisfazer as seguintes propriedades:
(I)
e
.
(II)
.
(III)
para todos
.
Nesse caso dizemos que
é um espaço vetorial normado. Do mais, um subconjunto
do espaço vetorial normado
é dito limitado, quando existir uma contante
tal que
para todo
. Além disso, um funcional linear
em
é dito contínuo, quando existir uma contante
satisfazendo
para todo
. Mostre que: Se
é um subconjunto do espaço vetorial normado
tal que
é limitado para todo funcional linear contínuo
, então
é limitado.
(I)
(II)
(III)
Nesse caso dizemos que
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Temos um espaço vetorial normado
com uma norma
. A gente quer mostrar que se todo conjunto de funcionais lineares contínuos
mapeando
resulta em conjuntos limitados, então o próprio conjunto
também é limitado. Basicamente, se qualquer função linear contínua não deixa
“bombar”, então
não pode ser “grande” demais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto
ser limitado. Diz que existe um número
tal que para todo
, temos
. Nosso objetivo é encontrar esse
.
Passo 3
Agora, vamos pensar nos funcionais lineares contínuos. Por definição, para cada funcional
contínuo, existe uma constante
tal que
para todo
. Isso significa que cada
controla o “tamanho” de
de alguma forma.
Passo 4
O próximo passo é usar uma propriedade importante das normas: a norma de um vetor pode ser expressa como o supremo (maior valor) dos valores absolutos de todos os funcionais contínuos avaliados nesse vetor. Em fórmula, isso fica:
Isso nos diz que para medir
, a gente olha para todos os possíveis
e pega o maior valor absoluto.
Passo 5
Como
é limitado para todo
contínuo, existe uma constante
tal que
para todo
. Mas queremos um
único que serve para todos os
.
Passo 6
Note que, se para todo
com
, temos
, então o supremo dessas quantidades também será limitado. Ou seja:
Se todo
é limitado por algum valor, digamos
, então
para todo
.
Passo 7
Portanto, concluímos que existe um
tal que
para todo
, ou seja,
é limitado.
Resposta
Portanto, se para todo funcional linear contínuo
,
é limitado, então o conjunto
também é limitado.