Considere T: R^3 R^3 uma transformação linear tal que
T(x, y, z)=(x+2 y-z, 2 x+z, x-2 y+2 z)
a) Determine, caso existam, uma base para o núcleo e uma base para a imagem da transformação T.
b) Existe T^-1(x, y, z) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon R^3toR^3 dada por
T(x,y,z)=(x+2y-z,;2x+z,;x-2y+2z)
Precisamos achar uma base para o núcleo ( ker T), uma base para a imagem ( ImT) e decidir se T é invertível.

Passo 2

Escrevo T como matriz na base canônica:
A= 1 & 2 & -1 2 & 0 & 1 1 & -2 & 2 ,
pois T(x,y,z)=A,(x,y,z)^T. Logo
ker T=l(x,y,z)inR^3 mid A,(x,y,z)^T=0r,
isto é o sistema homogêneo
x+2y-z=0, 2x+z=0, x-2y+2z=0

Passo 3

Da segunda equação vem z=-2x. Substituo na primeira:
x+2y-(-2x)=3x+2y=0implies y=-tfrac32x
A terceira repete 2y=-3x. Portanto
(x,y,z)=l(x,-tfrac32x,-2xr)=x,(1,-tfrac32,-2)
Escolhendo x=2t para evitar frações,
(x,y,z)=t,(2,-3,-4)
Assim
ker T=span(2,-3,-4)

Passo 4

As colunas de A são
c1=(1,2,1), c2=(2,0,-2), c3=(-1,1,2)
Verifico que c1 e c2 são linearmente independentes (a combinação a,c1+b,c2=0 implica a=b=0). Logo
ImT=spanc1,c2 =span(1,2,1),,(2,0,-2)

Passo 5

Uma transformação linear de R^3 em si só é invertível se for injetiva, isto é, se ker T=0. Aqui ker Tneq0, logo T não é injetiva e não possui inversa.

Resposta

a) ker T=span(2,-3,-4); ImT=span(1,2,1),,(2,0,-2).
b) Não existe T^-1, pois ker Tneq0 e, portanto, T não é injetiva.

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