Considere
uma transformação linear tal que
a) Determine, caso existam, uma base para o núcleo e uma base para a imagem da transformação
.
b) Existe
? Justifique sua resposta.
b) Existe
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
dada por
Precisamos achar uma base para o núcleo (
), uma base para a imagem (
) e decidir se
é invertível.
Passo 2
Escrevo
como matriz na base canônica:
pois
T(x,y,z)=A,(x,y,z)^T . Logo
isto é o sistema homogêneo
Passo 3
Da segunda equação vem
z=-2x . Substituo na primeira:
A terceira repete
2y=-3x . Portanto
Escolhendo
x=2t para evitar frações,
Assim
Passo 4
As colunas de
A são
Verifico que
c1 e
c2 são linearmente independentes (a combinação
a,c1+b,c2=0 implica
a=b=0 ). Logo
Passo 5
Uma transformação linear de
R^3 em si só é invertível se for injetiva, isto é, se
ker T=0 . Aqui
ker Tneq0 , logo
T não é injetiva e não possui inversa.
Resposta
a)
ker T=span(2,-3,-4) ;
ImT=span(1,2,1),,(2,0,-2) .
b) Não existeT^-1 , pois
ker Tneq0 e, portanto,
T não é injetiva.
b) Não existe