Seja o operador linear definido por . Determine, caso exista, a transformação . Agora, seja uma transformação linear, podemos afirmar que se , então sempre existirá a inversa de ? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado apresenta o operador linear definido por
A primeira parte pede , ou seja, encontrar a transformação inversa quando ela existir. O conteúdo usado será a representação matricial de na base canônica e o critério de invertibilidade via determinante.
Passo 2
Na base canônica a matriz de é
Sabemos que T é invertível se, e somente se, det A neq 0.
Passo 3
Calculando o determinante:
det A = 7cdot1 - (-4)cdot(-4) = 7 - 16 = -9 neq 0
Logo A é invertível e T^-1 existe.
Passo 4
Para achar A^-1 usamos a fórmula da adjunta: se
A = a & b c & d ,
então
A^-1 = 1det A d & -b -c & a
Aqui (a,b,c,d)=(7,-4,-4,1), logo a matriz adjunta é 1 & 44 & 7
e
No caso geral de uma transformação linear T:Vto W, mesmo que V=W, não basta a igualdade dos espaços para garantir inversibilidade. É preciso que T seja bijetora (ou equivalentemente ker T=0 e ImT=V). Por exemplo, a projeção não trivial em R^2 tem domínio e contradomínio iguais, mas não é invertível.
Resposta
T^-1(x,y)=l(-tfracx+4y9,-tfrac4x+7y9r)
Não, mesmo se V=W uma transformação linear só tem inversa exatamente quando é bijetora (ou seja, injetiva e sobrejetiva); a condição V=W sozinha não garante isso.