Seja T: R^2 R^2 o operador linear definido por T(x, y)=(7 x-4 y,-4 x+y). Determine, caso exista, a transformação T^-1(x, y). Agora, seja T: V W uma transformação linear, podemos afirmar que se V=W, então sempre existirá a inversa de T ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado apresenta o operador linear
,T:R^2toR^2 definido por
T(x,y) = (,7x-4y,,-4x+y,)
A primeira parte pede T^-1, ou seja, encontrar a transformação inversa quando ela existir. O conteúdo usado será a representação matricial de T na base canônica e o critério de invertibilidade via determinante.

Passo 2

Na base canônica (1,0),(0,1) a matriz de T é
A = 7 & -4 -4 & 1
Sabemos que T é invertível se, e somente se,
det A neq 0.

Passo 3

Calculando o determinante:
det A = 7cdot1 - (-4)cdot(-4) = 7 - 16 = -9 neq 0
Logo A é invertível e T^-1 existe.

Passo 4

Para achar A^-1 usamos a fórmula da adjunta: se
A = a & b c & d ,
então
A^-1 = 1det A d & -b -c & a
Aqui (a,b,c,d)=(7,-4,-4,1), logo a matriz adjunta é
1 & 44 & 7
e
A^-1 = -tfrac19 1 & 4 4 & 7

Passo 5

Dessa forma, para (u,v)inR^2 temos
T^-1(u,v) = -19l(u+4v,;4u+7vr) = l(-tfracu+4v9,,-tfrac4u+7v9r)

Passo 6

No caso geral de uma transformação linear T:Vto W, mesmo que V=W, não basta a igualdade dos espaços para garantir inversibilidade. É preciso que T seja bijetora (ou equivalentemente ker T=0 e ImT=V). Por exemplo, a projeção não trivial em R^2 tem domínio e contradomínio iguais, mas não é invertível.

Resposta

T^-1(x,y)=l(-tfracx+4y9,-tfrac4x+7y9r)
Não, mesmo se V=W uma transformação linear só tem inversa exatamente quando é bijetora (ou seja, injetiva e sobrejetiva); a condição V=W sozinha não garante isso.

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