Sejam
.
Se
é tal que
e
, mostre que
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três vetores no espaço tridimensional
:
Além disso, temos uma função linear
que anula os vetores
e
, ou seja,
e
, mas não anula
, isto é,
. Nosso objetivo é mostrar que
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre funções lineares e sistemas de equações. Vamos precisar entender como uma função linear atua sobre vetores e como podemos representar essa função para encontrar o resultado desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona uma função linear no espaço
. Uma função linear
pode ser representada como:
Onde
,
e
são constantes que definem a função
. Nosso objetivo é determinar esses coeficientes usando as informações que temos.
Passo 3
Sabemos que
anula os vetores
e
. Vamos usar isso para montar um sistema de equações:
- Para
:
- Para
:
Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema para encontrar
,
e
em termos de
:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
Agora, podemos expressar a função
em termos de
:
Passo 5
Sabemos também que
. Vamos verificar isso usando
:
Para que
, precisamos que
, ou seja,
.
Passo 6
Agora, vamos calcular
usando a expressão que encontramos para
:
Sabemos que
, então
. Portanto: