Sejam u1=(1,0,1), u2=(0,1,-2), u3=(-1,1,0) in R^3.
Se f in(R^3)^* é tal que f(u1)=f(u2)=0 e f(u3) neq 0, mostre que f(2,3,-1) neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três vetores no espaço tridimensional R^3:
  • u1 = (1, 0, 1)
  • u2 = (0, 1, -2)
  • u3 = (-1, 1, 0)
Além disso, temos uma função linear f que anula os vetores u1 e u2, ou seja, f(u1) = 0 e f(u2) = 0, mas não anula u3, isto é, f(u3) neq 0. Nosso objetivo é mostrar que f(2, 3, -1) neq 0.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre funções lineares e sistemas de equações. Vamos precisar entender como uma função linear atua sobre vetores e como podemos representar essa função para encontrar o resultado desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona uma função linear no espaço R^3. Uma função linear f pode ser representada como:
f(x, y, z) = a x + b y + c z
Onde a, b e c são constantes que definem a função f. Nosso objetivo é determinar esses coeficientes usando as informações que temos.

Passo 3

Sabemos que f anula os vetores u1 e u2. Vamos usar isso para montar um sistema de equações:
  1. Para u1 = (1, 0, 1):
f(1, 0, 1) = a(1) + b(0) + c(1) = a + c = 0
  1. Para u2 = (0, 1, -2):
f(0, 1, -2) = a(0) + b(1) + c(-2) = b - 2c = 0
Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
a + c = 0 b - 2c = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar a, b e c em termos de c:
  1. Da primeira equação:
a + c = 0 Rightarrow a = -c
  1. Da segunda equação:
b - 2c = 0 Rightarrow b = 2c
Agora, podemos expressar a função f em termos de c:
f(x, y, z) = (-c) x + (2c) y + c z = c(-x + 2y + z)

Passo 5

Sabemos também que f(u3) neq 0. Vamos verificar isso usando u3 = (-1, 1, 0):
f(-1, 1, 0) = c(-(-1) + 2(1) + 0) = c(1 + 2) = 3c
Para que f(u3) neq 0, precisamos que 3c neq 0, ou seja, c neq 0.

Passo 6

Agora, vamos calcular f(2, 3, -1) usando a expressão que encontramos para f:
f(2, 3, -1) = c(-2 + 2(3) + (-1)) = c(-2 + 6 - 1) = c(3) = 3c
Sabemos que c neq 0, então 3c neq 0. Portanto:

Resposta

f(2, 3, -1) neq 0.

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