Verifique se são L. I.s os subconjuntos dos espaços vetoriais:
o subconjunto (-1,0,1,1),(2,6,-2,4),(-2,3,-4,-1) de R^4 com +e cdot usuais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto
(-1,0,1,1),,(2,6,-2,4),,(-2,3,-4,-1) de R^4 é linearmente independente. Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear: supondo que uma combinação dos vetores dê o vetor zero, mostramos que só há solução trivial.

Passo 2

Suponha que existam escalares c1,c2,c3 tais que
c1(-1,0,1,1)+c2(2,6,-2,4)+c3(-2,3,-4,-1)=(0,0,0,0)
Isso gera o sistema de equações:
-,c1 + 2c2 - 2c3 = 0, 6c2 + 3c3 = 0, c1 - 2c2 - 4c3 = 0, c1 + 4c2 - c3 = 0

Passo 3

Da segunda equação temos
6c2+3c3=0 Longrightarrow 2c2+c3=0 Longrightarrow c3=-2c2

Passo 4

Substituindo c3=-2c2 nas primeiras duas equações não-triviais:
-,c1 + 2c2 -2(-2c2)=0 ;Longrightarrow; -,c1+6c2=0 ;Longrightarrow; c1=6c2,
c1 -2c2 -4(-2c2)=0 ;Longrightarrow; c1+6c2=0 ;Longrightarrow; c1=-6c2
Comparando c1=6c2 e c1=-6c2 obtemos c2=0, e daí c1=0 e c3=0. A quarta equação fica satisfeita automaticamente.

Passo 5

Como a única solução é c1=c2=c3=0, concluímos que não há combinação linear não trivial que anule os vetores. Ou seja, o conjunto é linearmente independente.

Resposta

O conjunto (-1,0,1,1),,(2,6,-2,4),,(-2,3,-4,-1) é linearmente independente.

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