Dados U=span(0,1,0) e V=span((1,0,2),(-2,0,1)), mostre que R^3=U oplus V.

Passo 1

O enunciado define
e pede para mostrar que
.
Isto significa duas coisas:
. .
. .

Passo 2

Mostramos primeiro que
Isso dá o sistema
Da primeira equação é LI e .

Passo 3

Agora mostramos que . Seja
Então existem tais que
Comparando coordenadas:
Da segunda coordenada segue . Das outras duas:
leva a e depois , ou seja .
Portanto e .

Passo 4

Finalmente, pelo Teorema da dimensão para soma de subespaços:
Como em , segue . Juntando com , concluímos

Resposta

R^3 = U oplus V.

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