Mostre que a transformação
definida por
não é linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a transformação
definida por
não é linear. Para isso, vamos focar no conteúdo de transformações lineares, que são funções que preservam operações de adição e multiplicação por escalar. Precisamos verificar se
atende às propriedades que definem uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Adição:
- Homogeneidade:
Outra maneira fácil de testar a linearidade é verificar se
, onde
é o vetor nulo. Se isso não for verdade, a transformação não é linear.
Passo 3
Vamos aplicar essa última verificação, pois é mais rápida. Vamos calcular
, onde
.
Note que o resultado é
, que não é o vetor nulo em
, que seria
.
Passo 4
Como
, isso já nos mostra que a transformação
não preserva a origem, ou seja, não é uma transformação linear. Não precisamos verificar as outras propriedades (adição e homogeneidade), porque já encontramos uma violação das condições necessárias para a linearidade.
Resposta
A transformação
definida por
não é linear porque
.