Mostre que a transformação T definida por T(x1, x2)=(x1-2 x2, x1-3,2 x1-5 x2) não é linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a transformação T definida por T(x1, x2) = (x1 - 2x2, x1 - 3, 2x1 - 5x2) não é linear. Para isso, vamos focar no conteúdo de transformações lineares, que são funções que preservam operações de adição e multiplicação por escalar. Precisamos verificar se T atende às propriedades que definem uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T: R^n R^m é linear se, para quaisquer vetores u, v e qualquer escalar c , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Homogeneidade: T(cu) = cT(u)
Outra maneira fácil de testar a linearidade é verificar se T(0) = 0 , onde 0 é o vetor nulo. Se isso não for verdade, a transformação não é linear.

Passo 3

Vamos aplicar essa última verificação, pois é mais rápida. Vamos calcular T(0) , onde 0 = (0, 0) .
T(0, 0) = (0 - 2 times 0, 0 - 3, 2 times 0 - 5 times 0) = (0, -3, 0)
Note que o resultado é (0, -3, 0) , que não é o vetor nulo em R^3 , que seria (0, 0, 0) .

Passo 4

Como T(0) neq 0 , isso já nos mostra que a transformação T não preserva a origem, ou seja, não é uma transformação linear. Não precisamos verificar as outras propriedades (adição e homogeneidade), porque já encontramos uma violação das condições necessárias para a linearidade.

Resposta

A transformação T definida por T(x1, x2) = (x1 - 2x2, x1 - 3, 2x1 - 5x2) não é linear porque T(0) neq 0 .

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