1. Considere a transformação T:lu=e^x+y^3 v=3 e^x-2 y^3
    (a) Calcule o jacobiano da transformação T e de sua inversa.

Passo 1

O enunciado define a transformação
T: u = e^x + y^3, v = 3e^x - 2y^3,
e pede o jacobiano de T e de T^-1. Para isso vamos usar que o jacobiano de T é
JT(x,y) = detpartial(u,v)partial(x,y),
e que o jacobiano de T^-1 satisfaz
JT^-1(u,v) = 1JTl(x(u,v),,y(u,v)r)
Precisamos então (i) calcular JT(x,y) e (ii) inverter T para expressar x e y em função de u,v.

Passo 2

Formamos a matriz das derivadas parciais de (u,v) em relação a (x,y):
partial (u,v)partial (x,y) = partial upartial x & partial upartial y [6pt] partial vpartial x & partial vpartial y = e^x & 3y^2 [4pt] 3e^x & -6y^2
O determinante é
JT(x,y) = e^x cdot (-6y^2) - (3e^x) cdot (3y^2) = -6e^xy^2 - 9e^xy^2 = -15 e^x y^2 ]

Passo 3

Para achar T^-1, resolvemos o sistema
u = e^x + y^3, v = 3e^x -2y^3
Somando 2u+v
2u + v = 2e^x +2y^3 +3e^x -2y^3 = 5e^x,
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e^x = 2u+v5
Subtraindo v de 3u
3u - v = 3e^x +3y^3 -l(3e^x -2y^3r) = 5y^3,
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y^3 = 3u - v5
Assim
x(u,v) = ln!l(2u+v5r), y(u,v) = raiz[,3]3u - v5

Passo 4

O jacobiano de T^-1 é o inverso do jacobiano de T avaliado em l(x(u,v),y(u,v)r):
JT^-1(u,v) = 1JTl(x(u,v),y(u,v)r) = 1-15,e^x(u,v),l(y(u,v)r)^2
Substituindo
e^x(u,v) = 2u+v5, l(y(u,v)r)^2 = l(3u-v5r)^!2/3,
obtém-se
JT^-1(u,v) = -115, 1 2u+v5;l(3u-v5r)^2/3 = -5^1+2/315,(2u+v),(3u-v)^2/3 = -5^5/315,(2u+v),(3u-v)^2/3

Resposta

O jacobiano de T é
JT(x,y) = -15,e^xy^2,
e o jacobiano de sua inversa é
JT^-1(u,v) = -5^5/315,(2u+v),(3u-v)^2/3

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