3^ a QUESTA A O - Determine se as seguintes séries convergem ou divergem:
S5=sumk=1^+infty sen kk^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a série S5 = sumk=1^+infty sin kk^2 converge ou diverge. Estamos trabalhando com séries numéricas, e para resolver isso, vamos precisar usar testes de convergência de séries, especificamente o teste da comparação e o teste da série p .

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os termos da nossa série. Temos sin kk^2 . Sabemos que a função seno, sin k , oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de k . Ou seja, |sin k| <= 1 para todo k .

Passo 3

Como |sin k| <= 1 , podemos afirmar que:
| sin kk^2 | <= 1k^2
Isso significa que os termos da nossa série são menores ou iguais aos termos da série sumk=1^+infty 1k^2 .

Passo 4

Agora, vamos analisar a série sumk=1^+infty 1k^2 . Essa é uma série do tipo p , onde p = 2 . Sabemos que uma série p converge se p > 1 . Como 2 > 1 , a série sumk=1^+infty 1k^2 converge.

Passo 5

Como os termos da nossa série sumk=1^+infty sin kk^2 são menores em valor absoluto que os termos de uma série convergente, pela Teste da Comparação, podemos concluir que a série sumk=1^+infty sin kk^2 também converge.

Resposta

A série S5 = sumk=1^+infty sin kk^2 converge.

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