QUESTA - Determine se as seguintes séries convergem ou divergem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Estamos trabalhando com séries numéricas, e para resolver isso, vamos precisar usar testes de convergência de séries, especificamente o teste da comparação e o teste da série .
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os termos da nossa série. Temos . Sabemos que a função seno, , oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Ou seja, para todo .
Passo 3
Como , podemos afirmar que:
Isso significa que os termos da nossa série são menores ou iguais aos termos da série sumk=1^+infty 1k^2 .
Passo 4
Agora, vamos analisar a série sumk=1^+infty 1k^2 . Essa é uma série do tipo p , onde p = 2 . Sabemos que uma série p converge se p > 1 . Como 2 > 1 , a série sumk=1^+infty 1k^2 converge.
Passo 5
Como os termos da nossa série sumk=1^+infty sin kk^2 são menores em valor absoluto que os termos de uma série convergente, pela Teste da Comparação, podemos concluir que a série sumk=1^+infty sin kk^2 também converge.