Considere a transformação \mathbb{R}-linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} dada na base standard pela matriz
\left(\begin{array}{cccc} -3709 & -807 & 513 & 3783 \\\\ -3610 & -769 & 472 & 3668 \\\\ -350 & -81 & 58 & 361 \\\\ -4350 & -942 & 594 & 4433 \end{array}\right)
Se v=(4,5,0,5) \in \mathbb{R}^{4} é um autovetor de T, qual o autovalor correspondente?
\square

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 representada pela matriz
A = \begin{pmatrix} -3709 & -807 & 513 & 3783 \\\\ -3610 & -769 & 472 & 3668 \\\\ -350 & -81 & 58 & 361 \\\\ -4350 & -942 & 594 & 4433 \end{pmatrix}
na base padrão, e nos informa que v=(4,5,0,5) é um autovetor de T. Para encontrar o autovalor \lambda correspondente, basta calcular T(v)=A\,v e impor T(v)=\lambda\,v.

Passo 2

Calculamos T(v)=A\,v componente a componente:
T(v) =\begin{pmatrix} -3709\cdot4 \;-\;807\cdot5 \;+\;513\cdot0 \;+\;3783\cdot5\\\\ -3610\cdot4 \;-\;769\cdot5 \;+\;472\cdot0 \;+\;3668\cdot5\\\\ -350\cdot4 \;-\;81\cdot5 \;+\;58\cdot0 \;+\;361\cdot5\\\\ -4350\cdot4 \;-\;942\cdot5 \;+\;594\cdot0 \;+\;4433\cdot5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 44\\[6pt] 55\\[6pt] 0\\[6pt] 55 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Como T(v)=(44,55,0,55) e v=(4,5,0,5), existe \lambda tal que
\lambda\,(4,5,0,5) \;=\;(44,55,0,55).
Comparando a primeira coordenada, 4\lambda=44, segue \lambda=11. As outras coordenadas confirmam o mesmo valor.

Resposta

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