Questão 1 - Encontre o conjunto solução para a inequação
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Aqui o conteúdo envolve inequações racionais com valor absoluto. Para tratar, vamos:
- Determinar o domínio e os pontos críticos de mudança de sinal em numerador e denominador.
- Dividir a reta nesses intervalos e analisar o sinal de
e de em cada um. - Resolver a inequação em cada intervalo e coletar as soluções.
Passo 2
O denominador não pode ser zero, logo
.
O valor absoluto muda de expressão em , isto é, em
.
Assim partimos a reta real nos intervalos
O valor absoluto muda de expressão em
Assim partimos a reta real nos intervalos
Passo 3
No intervalo
:
– Aqui , então
.
– E .
A inequação fica
– Aqui
– E
A inequação fica
Multiplicando ambos os lados por
(que é negativo) invertemos o sinal:
Desenvolvendo:
Mas este resultado não cai em
. Logo não há solução neste intervalo.
Passo 4
No intervalo
:
– Agora , logo
.
– E ainda .
Temos
– Agora
– E ainda
Temos
Multiplicando por
e invertendo o sinal:
Desenvolvendo:
Mas
não se encontra em
. Logo também não há solução aqui.
Passo 5
No intervalo
:
– Aqui e, como
, temos
e
.
A inequação é
– Aqui
A inequação é
Multiplicando por
sem inverter o sinal:
Desenvolvendo:
Combinando com
, obtemos
que é exatamente o intervalo
.