Questão 1 - Encontre o conjunto solução para a inequação \frac{|2 x-1|}{x-2}>3.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{|2x - 1|}{x - 2} > 3.
Aqui o conteúdo envolve inequações racionais com valor absoluto. Para tratar, vamos:
  1. Determinar o domínio e os pontos críticos de mudança de sinal em numerador e denominador.
  2. Dividir a reta nesses intervalos e analisar o sinal de |2x-1| e de x-2 em cada um.
  3. Resolver a inequação em cada intervalo e coletar as soluções.

Passo 2

O denominador não pode ser zero, logo x \neq 2.
O valor absoluto muda de expressão em 2x-1=0, isto é, em x=\tfrac12.
Assim partimos a reta real nos intervalos
(-\infty,\tfrac12),\quad (\tfrac12,2),\quad (2,\infty).

Passo 3

No intervalo (-\infty,\tfrac12):
– Aqui 2x-1<0, então |2x-1|=1-2x.
– E x-2<0.
A inequação fica
\frac{1-2x}{\,x-2\,}>3.
Multiplicando ambos os lados por x-2 (que é negativo) invertemos o sinal:
1-2x < 3(x-2).
Desenvolvendo:
1-2x < 3x - 6 \;\Longrightarrow\; 1+6 < 3x +2x \;\Longrightarrow\; 7 < 5x \;\Longrightarrow\; x > \tfrac{7}{5}.
Mas este resultado não cai em (-\infty,\tfrac12). Logo não há solução neste intervalo.

Passo 4

No intervalo (\tfrac12,2):
– Agora 2x-1>0, logo |2x-1|=2x-1.
– E ainda x-2<0.
Temos
\frac{2x-1}{\,x-2\,}>3.
Multiplicando por x-2<0 e invertendo o sinal:
2x-1 < 3(x-2).
Desenvolvendo:
2x-1 < 3x - 6 \;\Longrightarrow\; -1+6 < 3x -2x \;\Longrightarrow\; 5 < x.
Mas x>5 não se encontra em (\tfrac12,2). Logo também não há solução aqui.

Passo 5

No intervalo (2,\infty):
– Aqui x-2>0 e, como x>2>\tfrac12, temos 2x-1>0 e |2x-1|=2x-1.
A inequação é
\frac{2x-1}{\,x-2\,}>3.
Multiplicando por x-2>0 sem inverter o sinal:
2x-1 > 3(x-2).
Desenvolvendo:
2x-1 > 3x - 6 \;\Longrightarrow\; -1+6 > 3x -2x \;\Longrightarrow\; 5 > x \;\Longrightarrow\; x < 5.
Combinando com x>2, obtemos
2 < x < 5,
que é exatamente o intervalo (2,5).

Resposta

(2,5)

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