Questão 2 - Considere a função
.
a) Em quais pontos a função
é contínua? Justifique!
b) É possível definir
em
para que
se torne contínua nesse ponto? Por quê?
a) Em quais pontos a função
b) É possível definir
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede:
a) os pontos em que é contínua;
b) se dá para definir de modo a torná-la contínua em
.
Vamos usar a teoria de funções racionais (contínuas em seu domínio) e fatoração de polinômios para analisar descontinuidades e limites.
a) os pontos em que
b) se dá para definir
Vamos usar a teoria de funções racionais (contínuas em seu domínio) e fatoração de polinômios para analisar descontinuidades e limites.
Passo 2
Como
é uma razão de polinômios, ela é contínua em todo ponto em que o denominador é não-nulo. Primeiro achamos as raízes do denominador:
logo o denominador se anula em
e
. Portanto o domínio de
é
e
é contínua em todo
.
Passo 3
Para estudar o tipo de descontinuidade em
, fatoramos numerador e denominador:
Para
podemos simplificar
:
Assim o limite quando
existe e vale
Passo 4
Em
o denominador zera mas o numerador não (em
o numerador é
), de modo que o limite diverge e não há como remover essa descontinuidade. Em
, porém, o fato de o numerador também anular permitiria definir um valor igual ao limite para “remover” a descontinuidade.
Resposta
a)
é contínua em todos os pontos de
exceto em
e em
.
b) Sim. Como
b) Sim. Como
basta definir
para que
fique contínua em
.