Questão 2 - Considere a função f(x)=\frac{x^{3}-16 x}{x^{2}-5 x+4}.
a) Em quais pontos a função f é contínua? Justifique!
b) É possível definir f em x=4 para que f se torne contínua nesse ponto? Por quê?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{x^{3}-16x}{x^{2}-5x+4}
e pede:
a) os pontos em que f é contínua;
b) se dá para definir f(4) de modo a torná-la contínua em x=4.
Vamos usar a teoria de funções racionais (contínuas em seu domínio) e fatoração de polinômios para analisar descontinuidades e limites.

Passo 2

Como f é uma razão de polinômios, ela é contínua em todo ponto em que o denominador é não-nulo. Primeiro achamos as raízes do denominador:
x^{2}-5x+4 = (x-1)(x-4)=0
logo o denominador se anula em x=1 e x=4. Portanto o domínio de f é
\mathbb{R}\setminus\{1,4\},
e f é contínua em todo x\neq1,4.

Passo 3

Para estudar o tipo de descontinuidade em x=4, fatoramos numerador e denominador:
x^{3}-16x = x\,(x^{2}-16) = x\,(x-4)(x+4),
x^{2}-5x+4 = (x-1)(x-4).
Para x\neq4 podemos simplificar (x-4):
f(x)=\frac{x\,(x-4)(x+4)}{(x-1)(x-4)} =\frac{x\,(x+4)}{x-1}\quad(x\neq4).
Assim o limite quando x\to4 existe e vale
\lim_{x\to4}f(x) =\lim_{x\to4}\frac{x\,(x+4)}{x-1} =\frac{4\,(4+4)}{4-1} =\frac{32}{3}.

Passo 4

Em x=1 o denominador zera mas o numerador não (em x=1 o numerador é 1\cdot(-3)\cdot5\neq0), de modo que o limite diverge e não há como remover essa descontinuidade. Em x=4, porém, o fato de o numerador também anular permitiria definir um valor igual ao limite para “remover” a descontinuidade.

Resposta

a) f é contínua em todos os pontos de \mathbb{R} exceto em x=1 e em x=4.
b) Sim. Como
\lim_{x\to4}f(x)=\frac{32}{3},
basta definir f(4)=\tfrac{32}{3} para que f fique contínua em x=4.

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