Considere a transformação matricial . Encontre uma base e a dimensão:
Da imagem
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear A:R^4toR^3 cuja matriz em relação às bases canônicas é
A= 1 & 2 & 3 & 1 1 & 3 & 5 & -2 3 & 8 & 13 & -3
Queremos encontrar uma base e a dimensão da imagem de A, ou seja, do espaço gerado pelas colunas de A. Para isso, vamos usar eliminação de Gauss para identificar colunas pivô.
Passo 2
Aplicando operações de linha para escalonar :
Passo 3
Na forma escalonada, vemos pivôs nas colunas 1 e 2. Logo,
Passo 4
As colunas originais correspondentes aos pivôs são a primeira e a segunda. Assim, uma base da imagem de A é
l(1,1,3),;(2,3,8)r
Passo 5
A dimensão da imagem de A é o número de vetores nessa base, isto é,
dim(Im(A))=2
Resposta
Uma base de Im(A) é (1,1,3),(2,3,8) e dim(Im(A))=2.