Determine uma transformação linear
cujo
e
.
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
tal que
tal que
e
Pela dimensão,
e
, compatível com o teorema do posto e da nulidade.
Passo 2
Vamos construir
via matriz em relação à base canônica. Seja
As colunas dessa matriz são
,
,
, e devem pertencer a
. Logo cada coluna
satisfaz
isto é, coordenadas da forma
.
Passo 3
Impor
Como cada coluna , chamamos
Então as condições de núcleo dão apenas
Passo 4
Para gerar exatamente , podemos escolher
Isto fixa
e
. Das equações do núcleo,
Logo
Passo 5
Com isso a matriz de
na base canônica é
ou seja, para
(x,y,z)inR^3 ,
Resposta
Uma transformação que satisfaz os requisitos é