Determine uma transformação linear T: R^3 R^3 cujo N(T)=[(1,-1,2)] e Im(T)=[(1,0,1),(0,1,0)].

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear

tal que
e
Pela dimensão, e , compatível com o teorema do posto e da nulidade.

Passo 2

Vamos construir T via matriz em relação à base canônica. Seja
T(x,y,z) =(a11x+a12y+a13z,;a21x+a22y+a23z,;a31x+a32y+a33z)
As colunas dessa matriz são T(e1), T(e2), T(e3), e devem pertencer a Im(T). Logo cada coluna (u,v,w) satisfaz
(u,v,w)=alpha,(1,0,1)+beta,(0,1,0)=(alpha,beta,alpha),
isto é, coordenadas da forma (alpha,beta,alpha).

Passo 3

Impor
Como cada coluna , chamamos
Então as condições de núcleo dão apenas

Passo 4

Para gerar exatamente , podemos escolher
Isto fixa e . Das equações do núcleo,
Logo

Passo 5

Com isso a matriz de T na base canônica é
[T]= 2 & 0 & -1 0 & 2 & 1 2 & 0 & -1 ,
ou seja, para (x,y,z)inR^3,
T(x,y,z) =l(2x - z,;2y + z,;2x - zr)

Resposta

Uma transformação que satisfaz os requisitos é
boxed T(x,y,z)=(2x - z,;2y + z,;2x - z)

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