Mostre se as funções abaixo são ou não são lineares:
T: R^2 R^3
T(x, y)=(x+3,2 y, x+y)

Passo 1

O enunciado define a transformação Tcolon R^2 to R^3 dada por
T(x,y) = (x+3,,2y,,x+y)
Queremos decidir se T é linear ou não, isto é, se satisfaz aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Lembrando que T é linear quando, para quaisquer vetores u,vinR^2 e qualquer escalar alpha, vale
T(u+v) = T(u) + T(v) e T(alpha u) = alpha,T(u)
Um teste rápido: toda transformação linear deve enviar o vetor zero em zero, ou seja, T(0,0)=(0,0,0).

Passo 3

Vamos calcular
T(0,0) = (0+3,,2cdot0,,0+0) = (3,0,0),
que claramente não é (0,0,0). Portanto T falha em levar o zero no zero e não pode ser linear.

Resposta

A transformação T não é linear.

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