Considere a transformação de rotação no plano por um ângulo \theta R_{\theta}(x, y)=(x \cos \theta-y \sin \theta, y \cos \theta+x \sin \theta) encontre a matriz de rotação para: \theta=\pi / 2 Passo 1O enunciado nos dá a transformação de rotação no plano por um ângulo \theta, R_{\theta}(x,y) = (\,x\cos\theta - y\sin\theta,\;x\sin\theta + y\cos\theta\,) e pede a matriz associada a R_{\theta} para \theta = \pi/2. Vamos usar o fato de que toda transformação linear em \mathbb{R}^2 que leva (x,y) em (a_{11}x + a_{12}y,\;a_{21}x + a_{22}y) é representada pela matriz \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} na base canônica. Passo 2Comparando com R_{\theta}(x,y) = \bigl(\underbrace{\cos\theta}_{a_{11}}\,x + \underbrace{(-\sin\theta)}_{a_{12}}\,y,\;\underbrace{\sin\theta}_{a_{21}}\,x + \underbrace{\cos\theta}_{a_{22}}\,y\bigr), vemos que a matriz geral de rotação é M(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}. Passo 3Para \theta = \pi/2 calculamos \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 0, \quad \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 1. Substituindo em M(\theta), obtém-se M\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}. Resposta \begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados(2.0 ptos) Diga se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. Justifique sua resposta. S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} onde S(x, y, z)=(3 z-2 x, x+y+z, y-2 x). (3.0 ptos) Determine a transformação inversa (caso exista) de T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow M(2,2) onde T(x, y, z, t)=\left[\begin{array}{cc} -2 x+y+z & z-y+t \\\ t-x+y & z-t \end{array}\right]_{2 \times 2} . Ache a matriz associada (caso exista) de T^{-1}. Considere a transformação de rotação no plano por um ângulo \theta R_{\theta}(x, y)=(x \cos \theta-y \sin \theta, y \cos \theta+x \sin \theta) encontre a matriz de rotação para: \theta=\pi / 4 Considere a transformação de rotação no plano por um ângulo \theta R_{\theta}(x, y)=(x \cos \theta-y \sin \theta, y \cos \theta+x \sin \theta) encontre a matriz de rotação para: \theta=\pi / 3