Considere a transformação de rotação no plano por um ângulo \theta
R_{\theta}(x, y)=(x \cos \theta-y \sin \theta, y \cos \theta+x \sin \theta)
encontre a matriz de rotação para:
\theta=\pi / 2

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação de rotação no plano por um ângulo \theta,
R_{\theta}(x,y) = (\,x\cos\theta - y\sin\theta,\;x\sin\theta + y\cos\theta\,)
e pede a matriz associada a R_{\theta} para \theta = \pi/2. Vamos usar o fato de que toda transformação linear em \mathbb{R}^2 que leva (x,y) em (a_{11}x + a_{12}y,\;a_{21}x + a_{22}y) é representada pela matriz
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}
na base canônica.

Passo 2

Comparando com
R_{\theta}(x,y) = \bigl(\underbrace{\cos\theta}_{a_{11}}\,x + \underbrace{(-\sin\theta)}_{a_{12}}\,y,\;\underbrace{\sin\theta}_{a_{21}}\,x + \underbrace{\cos\theta}_{a_{22}}\,y\bigr),
vemos que a matriz geral de rotação é
M(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.

Passo 3

Para \theta = \pi/2 calculamos
\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 0, \quad \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 1.
Substituindo em M(\theta), obtém-se
M\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}

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