Considere a transformação de rotação no plano por um ângulo \theta
R_{\theta}(x, y)=(x \cos \theta-y \sin \theta, y \cos \theta+x \sin \theta)
encontre a matriz de rotação para:
\theta=\pi / 3

Passo 1

O enunciado pede a matriz que representa a rotação no plano por um ângulo \theta. Esse é um conteúdo de transformações lineares em \mathbb R^2: toda rotação em torno da origem corresponde a uma matriz 2\times2. Para resolver, vamos usar a definição da transformação nos vetores canônicos e depois substituir \theta=\pi/3.

Passo 2

Sea \mathbf e_1=(1,0) e \mathbf e_2=(0,1) os vetores da base canônica. A matriz de uma transformação linear R_{\theta} tem como colunas as imagens desses vetores:
R_{\theta}(1,0)=\bigl(\cos\theta,\;\sin\theta\bigr),\quad R_{\theta}(0,1)=\bigl(-\sin\theta,\;\cos\theta\bigr).
Logo, a matriz geral é
\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora substituímos \theta=\pi/3. Sabemos que
\cos\frac{\pi}{3}=\tfrac12, \qquad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.

Passo 4

Inserindo esses valores na matriz geral obtemos
\begin{pmatrix} \frac12 & -\frac{\sqrt3}{2}\\[6pt] \frac{\sqrt3}{2} & \frac12 \end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix} \tfrac12 & -\tfrac{\sqrt3}{2}\\[6pt] \tfrac{\sqrt3}{2} & \tfrac12 \end{pmatrix}.]

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